Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
§ 11. Использование характеристик для решения плоской безвихревой задачи
при Мы увидим, что любой случай
движения газа со сверхзвуковой скоростью и при отсутствии
сильного разрыва мы сможем изучить, если научимся решать следующие четыре
задачи:
Задача 1. Поле скоростей [т. е. vx(x, у) и vy (х, у)] задано
в плоскости (х, у) на дуге АВ некоторой линии L (рис. 8), не являю-
щейся характеристикой. Определить vx и vy во всех точках области,
ограниченной дугой АВ и двумя характеристиками (разных семейств),
выходящими из точек А и В (рис. 8) (в некотором криволинейном
треугольнике). Задача 2. Поле скоростей известно ^ на дугах АВ и АС двух
характеристик разных семейств, выходящих из точки А. Найти и г»у в
области, ограниченной этими дугами и дугами BD и CD ха-Рис. 10.
рактеристик разных семейств, выходящих
из В и С (рис. 9).
Задача 3. Поле скоростей задано на дуге АВ характеристики
какого-либо семейства, причём известно, что точка А лежит на твёрдой
стенке5). Найти vx и vy в области, ограниченной АВ, твёрдой стенкой АС и
характеристикой ВС другого семейства, выходящей из точки В (рис. 10).
‘) Направление последней в А таково, что вторая характеристика,
проходящая через А, пойдёт «внутри» стенки.
??3 8(!
58 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
N2, ... (например, N2 есть пересечение элемента характеристики второго
семейства, выходящей из Mv и характеристики первого семейства, выходящей
из М2). Чтобы найти vx, v в точках Nv N2, рассуждаем так. Отметим
скорости vx и vy точек A, Mv ..., В в плоскости (vx, vy); пусть это будут
точки А', М'и . . ., в' (рис. 13). Перемещаясь в плоскости (х, у) по
характеристике второго семейства из точки А, мы будем в плоскости (vx,
vy) двигаться по эпициклоиде второго семейства, проходящей через
А'; перемещаясь же
вдоль характеристики первого семейства из Mv мы пойдём по плоскости (vx,
vy) вдоль эпициклоиды первого семейства, выходящей из Мь Обе нужные нам
эпициклоиды могут быть заранее нарисованы, поэтому точка их пересечения
n[ (рис. 13) может быть сразу найдена хотя бы графически. Совершенно
очевидно, что координаты vx и Vy точки Ni и дадут скорости vx и vy в
точке Nv Аналогичным образом мы найдём скорости точек N2 и т. д. Ниже мы
укажем на очень удобный приём графического определения скоростей vx, Vy в
этих точках.
Теперь мы можем взять за отправную сеть ряд точек Nv N2, .. . и
рассуждать по отношению к ним так же, как мы рассуждали о точках A, Mv
. . ., Мп, В. Именно в Nv N2, . . . скорости уже
известны; значит, можно во всех этих точках построить характери-
стики обоих семейств [по формулам (9.13), (9.14) или как нормали к
эпициклоидам плоскости (vx, vy)\ до пересечения их в точках Pv Р2, Ръ, .
. .; скорости же в этих точках найдутся как координаты точек пересечения
эпициклоид, проходящих через точки N\, N2, ? ? . соответственно. Так
постепенно мы заполним весь криволинейный треугольник, о котором идёт
речь в задаче 1. Линии АС и ВС, неизвестные вначале, построятся при этом
сами собой (приближённо, как ломаные, а не как плавные кривые; это же
относится ко всем характеристикам). Таким образом, в густой сетке точек
(густота эта
будет зависеть от густоты точек Mlt М2 Мп на АВ) нашего
«треугольника» мы будем знать скорости. Линии тока определить теперь
легко, если вспомнить, что скорости направлены по биссектрисам углов
между характеристиками, а последние по самому построению нам везде
известны. Давление находится по уравнению Бернулли. Задача 1 решена.
Решение задачи 2 принципиально не отличается от решения задачи 1.
Поместим на характеристике АВ густой ряд точек
Мг, М2 Мп, а на характеристике АС густой ряд точек Nv
N2 Nn. Во всех этих точках скорости vx, vy нам заданы.
Через точки Мг, М2, . .. проведём затем элементы характеристик
§ Л] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ о > а^ 59
второго семейства (считаем, что АВ — характеристика первого семейства), а
через точки Nx, N2, ...—отрезки характеристик первого семейства (рис.
14). Пусть пересечением характеристики первого семейства, вышедшей из
А/\, и характеристики второго семейства, вышедшей из Му будет точка Рх.
Чтобы найти скорость в Рх, замечаем, что перемещение вдоль характеристики
NXPX означает передвижение в плоскости (vx, vy) вдоль некоторой
эпициклоиды первого семейства, выходящей из у,
точки N\ с координатами, равными
Рис. 14. Рис. 15.
координатами — компонентами скорости в точке Л4Г Точка пересечения Рг
(рис. 15) упомянутых эпициклоид и даст компоненты скорости в Рх. Зная
скорости в точке Рх, можем провести через эту точку обе характеристики до
пересечения с элементами характеристик первого и второго семейства,
выходящих из N2 и из М2
соответственно. Получим точки Р2 и Ря. Чтобы найти скорость в Р2>
рассуждаем совершенно так же, как это делали при рассмотрении точки Ру
только роль прежней точки А будет теперь играть точка Nx, роль точки Мх
будет играть Рг, а на место точки Nx придётся ставить N2- Аналогично
