Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
172
Характерной чертой уравнения (3.35) является отсутствие условия
динамической причинности.
Обычно при изучении статистических характеристик решения (3.35)
используются приближения Бурре для уравнения Дайсона и лестничное
приближение для уравнения Бете -¦ Солпитера (см. гл. 4). Для данной
задачи среднее значение функции Грина в приближении Бурре удовлетворяет
уравнению
оо
<G (t, t0)> = g (f - t0) + 2Dg (0) J dt g (t - t) {G (t, *")>,
(3.37)
о
где введен коэффициент диффузии D = a2cr2.
Рассмотрим частный случай уравнения (3.35) с быстро затухающей
функцией g (t) = ехр {-a| t |} и выберем точку расположения
источника t0 = 0. При этом уравнения
(3.35), (3.37)
примут следующий вид:
оо
U (t) = e~at + a J dr z (т) U (т), (З.Зб')
о
оо
(U (t)} = e~at + 2Z) j dt (U (t)>, (3.37')
0
где 0 t <. oo, U (t) = G (t, 0). Решение уравнения (3.37')
выглядит следующим образом:
(U(t)y =-aq\ exp{-U}, = a (a - 4Z)) > 0. (3.38)
Перейдем теперь к точному решению задачи. Для этого естественно
воспользоваться теорией инвариантного погружения. Рассмотрим вместо
(3.35) уравнение
т
G (t, t0; T) = g(t - t0) + a j dr g (t - t) z (t) G (r, t0; T),
(3.39)
0
где введен "параметр погружения" Т. Решение уравнения (3.35)
соответствует предельному переходу Т -> оо. Пусть в уравнении
(3.39) t0 - Т, тогда в случае экспоненциальной функции g (t) вместо
(3.35') получаем уравнение
т
U (t, Т) = е-а(т~" + a ^dre-a\l-x\z(r)U (г, Т) (0 <*<Г). (3.40)
о
Решение статистической задачи (3.35'), в силу стационарности процесса z
(t), связано с решением уравнения (3.40) равенством
<JJ (t)y= lim (U (Г, Т)У (T-r=t). (3.41)
t, T->00
173
Отметим, что уравнение (3.40) эквивалентно краевой задаче
= а2 [1 - 2z (i)] V,
аU (Т)+ U' (Т) = 2а, аU (0) - U' (0) = 0.
(3.42)
Теперь можно, вообще говоря, использовать изложенную выше методику,
пригодную для анализа стохастических краевых задач, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями. Однако в данном случае
удобнее исходить непосредственно из уравнения (3.40). Дифференцируя
(3.40) по Т, получаем интегральное уравнение для величины dU (t, Т)/дТ,
решение которого с использованием (3.40) можно представить в следующем
виде:
= - а [1 - г (Т) R (У1)] U (t, Т), U(t,t) = R(t).
(3.43)
Здесь R (Т) = U (Т, Т), для этой величины имеется интегральное уравнение
^P-=2a[i-R(T)] + az(T)R*(T), R( 0) = 1. (3.45)
Таким образом, решение исходного интегрального уравнения
(3.40) сводится к системе уравнений (3.43), (3.45). Уравнение
(3.40) не обладает свойством динамической причинности, так как
его решение U (t, Т) является функционалом процесса z (т) для 0<т< 71.
Уравнения (3.43), (3.45) удовлетворяют условию
причинности, поскольку для них решается задача Коши.
Далее будем действовать стандартным образом. Пусть а - действительная
величина. Рассмотрим плотность вероятностей для
где усреднение проводится по ансамблю реализаций процесса z (t). Для Рт
(U, R) получаем уравнение Эйнштейна - Фоккера
т
R(T) = l+a\dx е-"(г-т) z (т) jj (Ti Т).
/3.44)
о
Дифференцируя его по Т, находим с учетом (3.43)
U (t, Т) и R (Т):
Рт (U, R) = <6 (U (f, Т) - U)b (R (Т) - Д)>,
Pt (U, R) = 6(U- R)Pt (Д),
(3.47)
174
где функция Pt (R) является плотностью вероятностей для величины R (t) и
удовлетворяет уравнению
= + №Р<<я> <3-48) с начальным условием Р0 (R) - 8 (R - 1).
Следовательно, статистическая задача для уравнения (3.40) полностью
описана. Переход к задаче (3.35') осуществляется, как говорилось выше,
при t, Т -> оо, если (Т - t) - фиксированная величина. Однако, как легко
видеть, уравнение (3.48) не дает стационарного распределения вероятностей
и, следовательно, все статистические характеристики величины U (t, Т) при
этом предельном переходе стремятся к оо, что полностью противоречит
приближению Бурре (и лестничному приближению для уравнения Бете -
Солпитера). Со статистической точки зрения уравнение (3.35')
бессмысленно.
В случае, когда величина а = у - Ы комплексна, уравнение
(3.40) описывает задачу о падении плоской волны на слой одномерной
случайно-неоднородной среды. Эта задача будет подробно рассмотрена в
