Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
о
Используем далее формулы § 3 гл. 2:
<z (t) q (t, х)у = jj dxB{t - т) ,
<q [x; z (t) + TU (t)] q [x; z (т) + r)2 (т)]> =
165
которые, в силу (2.12), можно записать в виде
t
<z (t) q (t, х)У = - ^dxB (t) ^ <q (t, x)>, (2.14;
<д2(г> Ф =
t
= exP {2 ^dx (t - x) В (t) <q(t, X + %)> <g {t, x + Г]2)> 1,,.=,,
==
0
n=o 0
В результате уравнение (2.13) принимает форму замкнутого уравнения:
п=0 О
t
= {v +JdT5(T)}-^<g>, (2.15)
о
содержащего, однако, в отличие от (2.11), производные всех порядков.
§ 3. Теория инвариантного погружения и стохастические
краевые задачи
Рассмотрим динамическую систему, описываемую системой обыкновенных
дифференциальных уравнений
dx. (t)
-?- = Fi(t,x(t)) (г = 1, 2, , N), (3.1)
определенной на отрезке времени [0, Т\ с краевыми условиями
М- (0) + hikXb (Т) = vt (3.2)
(по повторяющимся индексам предполагается суммирование). Функции Ft (t,
х) будем считать случайными, а постоянные матрицы g, h и вектор v -
детерминированными величинами.
Для динамической задачи (3.1), (3.2) не выполняется условие
причинности, сформулированное в третьей главе, т. е. решение этой задачи
х (t) в момент времени t функционально зависит от случайных сил F (т, х
(т)) для всех 0 х Т. Более того, даже краевые значения х (0) и х (Т)
являются функционалами поля F (т, х). Поэтому методы анализа
статистических характеристик решения уравнений (3.1), развитые в третьей
и четвертой главах, к данной задаче не применимы.
Для нахождения статистических характеристик решения задачи (3.1),
(3.2) можно воспользоваться теорией инвари-
166
антного погружения [24]. Заметим, что решение задачи (3.1),
(3.2) параметрически зависит от Т и v, т. е. x--x(t\ Т, v). Следуя [70],
введем функции
R (Т, v) = х(Т;Т, v), 8(T,v)=x(0;T,v). (3.3)
Тогда, как показано в [70], величины-В и х (t; Т, г^),как функции
параметров Т, v, удовлетворяют задаче Коши
dR. dR.
• hnFl (Т, Л) (Т, М), (3.4)
дТ 1 dvk
i?i (0, v) = (g + h)ikvk;
дх. (г; т, v) дх.
hklFl(T,B)= 0, (3.5)
xt (*; t, v) = Rt (t, v).
В частности, полагая в (3.5) 2 = 0, для функции S (Т, v) получаем
уравнение
+ ^ = 0' (3'6) -5. (0. '"О = (S г
Уравнение (3.4) является замкнутым нелинейным уравнением для It, а
уравнения (3.5), (3.6) - линейные уравнения. Следовательно,
статистические характеристики решения задачи (3.1),
(3.2) могут быть выражены через статистические характеристики решений
задач (3.4) - (3.6).
Отметим, что для этой задачи "вход" и "выход" (0 и Т) для системы
симметричны. Поэтому к решению краевой задачи можно подходить не только
со стороны Т -> 0, но и, наоборот, 0 -> Т. При этом функции 8 = аг(0) и М
= х(Т) как бы меняются местами, т. е. задачу легко переформулировать
таким образом, чтобы функция 8 (а) удовлетворяла уравнению по а типа
(3.4) с начальным условием при а-> Т, а само решение задачи х (t)
удовлетворяло линейному уравнению типа (3.5).
Стохастические уравнения типа (3.4) - (3.6) изучались в в предыдущем
параграфе. Для нахождения статистических характеристик их решений следует
дополнить систему (3.4), (3.5) уравнениями для функций dRi/dvj-:
я dR. d2R. dR. dF, dF. dR"
1 1 1 Z, F /Т E>\ 1 1 u I m l in
dT dv, dvjdv; нигп > "')-r dv 'hi dR dv - m dv
2 к 3
ft in i m 5
dR.
dVj
= (g + №
(3.7)
t-0
167
После этого можно написать замкнутое линейное стохастическое уравнение
Лиувилля для функции
ф Г, v ===
П/ дН~ (7\ v) \
b(Ri{T,v)-Rl)!>(xi{t-,T, ") - х4)б(-^-------------гг,,), (3.8)
i,j=1 Х 1 '
которое имеет вид
dwr ( д SF. а др. Л
-Jf- + hi {^i (У. R) - иш -щ- - итит} щ~} ф =
- - -щ- ШТ.в.) Ф1 - -^7 "-*} ¦ (3.9)
Уравнение (3.9) следует решать с начальным условием
Фt,v(Ri, хи ии) = <5 (В - х) фt:V (Ri, гги), (3.10)
где
ПЛ / <ш. (7'.г") \
&(RiCT,v) - RJbl-l-----------------щХ (3.11)
