Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
такого совпадения но будет.
Уравнения (2.7) можно решить с помощью преобразования Лапласа. Так,
при начальных условиях х (0) = х0, у (0) = у0 для преобразования Лапласа
величины <х (t))> получаем выражение
Для телеграфного процесса z (t) систему (2.7) можно получить и другим
путем, а именно, согласно формуле дифференцирования
О) = <г/>,
(2.2)
t
- t"o <z2> U dti ехр {- 2v (t - ti)} <^-щ- % [t1; t; z (x)f>,
0
где функция x (tx, t) удовлетворяет системе уравнений
(2.3)
с начальными условиями
х (ti) = X (ti), у (ti) = у (tx).
(2.4)
Решение уравнений (2.3) с условиями (2.4) имеет вид
1
х (ti, t) = x (ti) cos co0 (t - ti) H-------у (ti) sin co0 (t - M.
co0
Учитывая теперь равенства (1.3), получаем
(2.5)
= - CD0Z (*l) Sin C00 (t - ti).
(2.6)
0
где
<.x>p = F (p)L (p + 2v)/[L (p)L (p + 2v) - coo
<z2>],
F (p) = px0 + г/о, L (p) = p2 + Mo-
(2.7')
188
(4.3.4), для корреляции <z(t)x(t)'y в (2.1) можно напйсатЬ уравнение
(-i- + 2v'^(z(t)x(t)y = (z(t)x(t)'}^(z(t)ij(t)').
(2.8)
Аналогичное уравнение имеем и для <z (t)y (t)>:
{чг + 2v)<z(t)y(t)> = <z(t)y(t)'> =
- - со* <z (t) x (г)> - G>0 <z2> (a: (i)>.
(2.9)
Система уравнений (2.1), (2.8), (2.9) замкнута, начальными условиями для
нее являются условия
(0)> = х0, <г/ (0)> = г/о, <z (t)x (ф |,=0 = <z (t)y (ф |г=0 = 0.
Выражая <z (t)x (ф и <z &)у(ф через (ф с помощью (2.8),
(2.9), приходим опять к системе уравнений (2.7). Мы не будем
останавливаться па анализе системы (2.7) (это было сделано в первом
параграфе). Рассмотрим теперь вторые моменты решения задачи (1.1).
Действуя аналогично выводу системы (2.1), (2.8),
(2.9), для вторых моментов получаем систему шести уравнений:
-^- <х2) = 2 (ху), -i- (ху) = (г/2) - (Оо <:г2> - со* <zx2),
4" <2/2> = - 2{°о <ХУ> ~ 2с°о <zxy),
{4t +2v) ==2 (2-
10)
+ 2vj <zxy~) = <zy2> - cog <z;r2> - со2 <z2) <х2>,
+2v)= - 2м" <2;гг/> ~ 2со°<z2>
Отметим, что предельный переход v -у оо, <(z2> ->- оо, но <z2>/2v =
ст2, приводит к приближению гауссовского дельта-коррелировапного
случайного процесса (так как при таком переходе <zx2y 0, <zxyУ -ст2юj
(х2У), и мы приходим к системе уравнений (1.19). Систему уравнений (2.10)
легко решить с помощью преобразования Лапласа, что будет сделано в
дальнейшем. Аналогичным образом для корреляционной функции <х (t)x (t')y
получаем систему четырех уравнений:
¦^(x(t)x(t')) = (y{t)x{t')'>,
Аг (У {t)x {?)'> = - &% <x(t)x(t')y -(r)\(z{t)x{t) x(t')},
(2.10')
("I" + 2v) <z № х(г) x (0> = <z (*) У (*) x (t')),
+ 2v) <z (*) y(t) x (t')} = - o)o <z(t)x(t)x(t')} - (Oo <z2Xx(t)x
(*')>,
189
начальные условия для которой при t = t' выражаются Через решение
уравнений (2.10).
Пусть теперь z (t) - обобщенный телеграфный процесс. В этом случае
систему уравнений (2.1) можно переписать следующим образом (см.
(2.4.15')):
a xt [а] = %t [0, а; z\. Решение системы уравнений (2.12) с начальными
условиями (2.13) выглядит так:
и, следовательно, систему уравнений (2.11) можно переписать в замкнутой
форме:
Система уравнений (2.14), так же как и для телеграфного процесса, может
быть легко решена с помощью преобразования Лапласа. В результате получаем
где L (р) = р2 + Оэ, Ск (р) = (ак / [L (р + v) + acojJ)- Фор-
мула (2.14') совпадает с решением уравнения общего вида (4.3.71), если
учесть в последнем, что L (р) = р2 + Wo, М [р, <?] = Юо-Вернемся теперь к
исходному стохастическому уравнению, описывающему параметрическое
возбуждение осциллятора за
<ж> = <г/>,
t
<У> = - "о О) - Wo [<г]> erv< - vco2 ^ dt^'V-^ (axt [Zi a; z]>,
о
(2.11)
где функция xt Ult a; z] удовлетворяет уравнениям
%1 = Уи yt=- Wo-f t - о>о axt
(2.12)
с начальными условиями
[гъ a; z\ = X (tx), уи а\ z] = у (h)
(2.13)
xt [fj, a; z] = x{t{) cos со0 У1 + a (t - tx) + у (h)
sin 0)0 У \ + a (t - tt)
