Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
важной особенностью которого является равенство, аналогичное (6.13):
0, [г|з (х, т)] = 0, (х, 01- (6.45)
На этом мы закончим рассмотрение вопроса о расщеплении корреляций в
динамических системах и перейдем к непосредственному изучению
статистических характеристик решений соответ ствующих динамических
уравнений.
Г лава 3
ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЕЛЬТА-КОРРЕЛИРОВАННОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
§1. Уравнение Эйнштейна - Фоккера (УЭФ) для системы
дифференциальных уравнений
Пусть некоторая величина | (t) = {Ei (t), • • •, In (0} Удовлетворяет
системе динамических уравнений
= + и (i, t), |(0) = go, (1-1)
где Vi (|, t) - детерминированные функции, a ft (a?, t) - случайные
функции n -f- 1 переменной, обладающие следующими свойствами:
а) fi (х, t) - гауссовское случайное поле в (п + 1)-мерном
пространстве (ж, t)\
б) </, (х, ф = 0.
Будем для определенности считать, что t - временная, а х -
пространственная координаты.
Статистические характеристики поля /г (х, t) полностью описываются
заданием его корреляционного тензора
Ви (a?, t; а?', О = </г (as, t)fj (as', г')>,
где угловыми скобками обозначено, как и ранее, усреднение по ансамблю
реализаций поля f.
Так как система уравнений (1.1) является системой первого порядка по
t, начальные условия к которой ставятся при t - 0, то функции (t) будут
функционально зависеть лишь от предшествующих по t значений fj (х, ?) из
интервала 0 t' t. Отсюда следует, что (t) не меняется при варьировании
функции fj{х, t') вне этого интервала, т. е. на участках f <0, t' t.
Следовательно, вариационная производная бВг/б/j удовлетворяет условию
(при фиксированных |0)
а/>°0" = °' если Г<0, Г><' (1-2)
которое мы будем называть условием причинности.
Для дальнейшего нам понадобится значение 6|г (t)/bfj (х, t') при t' =
t. Эта величина может быть найдена следующим образом. Интегрируя (1.1) по
t, получаем
t
!г(0=!"о+ Jd-c ldx[vi{x,x)^-fi{x,x)\b{x'-
о
70
Подействуем на эту формулу оператором 6 / 6fj (х, О (t' < t) и учтем,
что, согласно определению вариационной производной,
б/г (ас', t) I бfj (х, О = 6U / б (х - х')6 (? - г')
(см. гл. 1). Так как ?0 не зависит от/, дифференцируя произведение под
знаком интеграла, находим
= 6,6 (*-1(0)-
- ^ dx dx' (х', т) + fi (х, т)] 6 (х - I (т)) ]Г) .
Нижний предел интегрирования во втором слагаемом заменен на t', так как,
согласно (1.2), стоящая под знаком интеграла вариационная производная
равна нулю, если т < ?. Полагая теперь t' = t, мы обращаем в нуль второе
слагаемое, не содержащее, как можно показать, особенностей при t' = t, в
результате чего получаем формулу
Т-!(<))• (1-3)
Как указывалось выше, функции (t) функционально зависят
лишь от предшествующих значений fj(x, t'). Однако может существовать
статистическая связь между ?г (t) и последующими значениями fj (х, if"),
так как значения fj (.х, ?") при t коррели-рованы со значениями fj (х, ?)
при tf < t. Ясно, что корреляция функции (t) с последующими значениями fj
(х, if") заметна лишь при ?" - t ^ х0, где t" - радиус корреляции поля /;
(х, t) по переменной t. Если же характерный радиус корреляции функции
(if) имеет величину порядка Т ^>х0 (что выполняется для достаточно
большого класса реальных физических процессов), то в такой задаче
существует малый параметр t0/T, который может быть использован для
построения приближенного решения.
В первом приближении по этому параметру малости можно положить т0 = 0.
В таком случае значения ?г (О при t'<L t будут не только функционально,
но и статистически независимы от значений /,¦ (х, t") при t" > t. Это
приближение эквивалентно замене корреляционного тензора 5г,- на некоторый
эффективный
5?f*(x,<;x',0 = 26 (it - О Fij (х, х , t), (1.4)
причем величина Fопределяется из условия равенства интегралов от В о и
Blfф по t'\
по
Fij(x,x,t) =-^- ^ dt'Bij (х, t; х , О) (1-.^)
С
77
что соответствует переходу к гауссовскому дельта-коррелированному по t
случайному полю (см. § 6 гл. 2).
Введем плотность вероятностей для решения § (t) системы уравнений
(1.1):
Л (ж) = <6 (х - | (*))>, (1.6)
где I (t) - решение системы, соответствующее определенной реализации /
(х, t), а усреднение производится по множеству всех реализаций /.
Дифференцируя (1.6) по t, получаем с учетом (1.1) уравнение
^§Г~= -+ -&(*))> (1-7)
(по повторяющимся индексам, как обычно, предполагается суммирование).
Используя свойства б-функции, можно заменить \ (t) на ж в выражениях,
стоящих в квадратных скобках. Вынося неслучайный множитель ь\ (х, t) за
