Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
которое можно переписать в виде
t
Ф lM = Q{l~U) + J dx К (f, х) Ф,, и,
(4.11')
to
t
К {t, х) = - alv (х) ^ dxtv (Xi) exp { - 2v (Xi - x)}.
T
Проварьируем теперь уравнение (4.11') no v (g). В результате для
функционала
t
1-'(х)] = --б--Ф;, t, = (z (g) exp ft dx z (x) v (x)V)
^ n
получаем интегральное уравнение, решение которого можно выразить через
решение уравнения (4.11'). В результате получаем выражение
_ $ * Ф,1Т \ Лг.ф,,," ,
(4.12)
?о
60
которое с учетом определения функционала К (t, т) можно переписать в виде
^is.y(T)] =
= | [у (т)] j dtxv [tx) exp {- 2v (| - ^)} Ф(1, t0 [v (t)] +
to
t
-Ь 1"-оф5, hW (x)]^dtlV ih) exp {- 2v (t! - ?)} Ф(, ;,[y(T)].
(4.12')
5
Рассмотрим теперь корреляцию
<Z
(?)Д{"[г)(т)+г(т)]> =
t
= <z (I) exp g dr z (т) -й4г}) я? [Г] (г)] -
to
= <4ЛЗ>
Следовательно, (4.13) можно переписать в виде равенства
! "
<z (c) /?|" [т, (г) + г (г)]) = aiyt, ехр {- 2v (| - t,)} [П (т)
+
to
+ Zi (х) 0 (г - I) + Z2 (т) 0 (fj - т)]> +
+ a-l \ dtx ехр {- 2v - |)} - J1 (i?J°[r) (г) Zi
(т) 0(? -
г)
бг] (ft)
+ z2(t)9(t-^)]>, (4.13')
где z\ (t), z2 (t) - статистически независимые телеграфные процессы с
одинаковой корреляционной функцией вида
<z (t) z (t')y = al exp {- 2v | t - t' I}-
Полагая теперь в (4.13') т) (т) = 0, мы получаем окончательное выражение
для интересующей нас корреляции [20):
I
(z (I) i?"fo[z(T)]> = flo j dtx ехр {- 2v (g - fj} х
to
х "("б^Г^0^1 (т)0(т~^) +22 (т)0 (^i - т + °)1 > + t
+ al jj dh exp {- 2v (t! - ?)} #1° [zx (t) 0 Й - t) +
+ z2(t)0(t - tl + 0)]^>. (4.13")
61
При | = t или I - t0 формула (4.13") переходит соответственно в формулы
(4.9), (4.9 ). Отметим, что в (4.13") пределы интегрирования t0, t могут
принимать любые значения от -оо до оо.
Отметим также, что если в формуле (4.12') положить v (т) = = v =
const, то с учетом равенства (1.3.32) получим выражение t
<(z (?) ехр |iv § dx z (т)}^> -
to
= ival {Ф (t - I) F (I ~ t0) + F (t- l) Ф (I
- *")},
где
Ф (t) == e~xt |ch kt -|-p sh kt|,
t
F (t) = \^dx e~2'(f-T) ф (x) = e~vt sh kt
о
(k - V v2 - alv2 J, и, следовательно,
t
<^z (I) exp |/у \^dx z (x)j^) =
U
= e-v<(-W jsh к (t - to) Jl- 4^ Sh k(t - l) sh к (? - Ц .
(4.14)
Выше был рассмотрен случай корреляции случайного процесса z (t) с
функционалом от него. Если же мы имеем произвольную функцию от
телеграфного процесса F (z (t)), то, очевидно, выполняется равенство
F(z(t))=-i (а)+/ <~а) - / z ((),
(4.1')
и все, что справедливо для телеграфного процесса z (t), будет
справедливо, с небольшими очевидными изменениями, и для F (z (t)).
Рассмотрим теперь обобщенный телеграфный процесс, описываемый
формулой (1.3.33). Для этого процесса связь функционала Wt [у (т)] с
характеристическим функционалом процесса z (t) описывается формулой
(1.4.62), которая, как и в случае телеграфного процесса, позволяет
выразить корреляцию <z (t) Rt [z (т)]>, где Rt [z] - произвольный
функционал, через среднее значение самого функционала. В самом деле,
действуя так же, как и в случае телеграфного процесса, получаем равенство
<z (t) Rt [z (г) + т] (т)]> = Тг [уб^у- Rt [Л С01 =
t
= (aRt [т] (г) + a]y~e~yt + v^d^exp {- v (f - <i)} <ai?f.h(x) +
О
+ aQ (т - f,) + Z (г) 0 - т)]>~ г, (4.15)
62
где т| (т) - произвольная функция, а случайная величина а в первой части
статистически независима от процесса z (t). Полагая теперь в (4.15) т|
(т) = 0, получаем окончательное выражение [20]:
<z(t)Rt[z (т)]> = <а/?([а]>е-" + t
+ v^dt! ехр {-v(t- 11)} (afit [?b a, z (t)]>, (4.15')
0
где функционал Rt Ui, a, z (т)] связан с функционалом Rt [z (t)]
формулой
Л* [il5 a, z (t)] = Rt Ia0 (t - h) + z (t) 0 (tx - t)],
(4.16)
