Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
а
Р-ч-Liu (ch а) = - С --=0S^-T - dr (а > 0),
- я Уу2(cha-cht) v
сс
P-i/^-iu. (ch a) = - ch яа ( - c^llT=- - dx (a > 0),
> n J (ch т f ch a) V
и последующего изменения порядка интегрирования. Разложение произвольной
функции в интеграл типа Фурье
ОС ОО
/ (х) = J d\i [х th (X) ^ d\ / (I) Р-.д+iu (I) (4.15)
о 1
определяет формулу обращения для преобразования (4.14), а именно для
любой (достаточно хорошей) функции / (х), заданной в интервале 1 ^ х <
оо, имеет место разложение
оо
/ (х) = j d\i |.i th [inF (fi) Р^/2+щ^х), (4.16)
где
F
(lx)=^dxf(x)P^j2+ifl(x). (4-17)
Решим теперь с помощью преобразования (4.16), (4.17) уравнение
(4.13),
Введем обозначение
CV
- Pt Ы = 5 dx р (х, t1 х0, to) Р-ч.+щ (х).
Умножим уравнение (4.13) на Р^/.+щ (х) и проинтегрируем по х в пределах
от 1 до оо. В результате получаем уравнение
00 '
р, (ц) = о2 ij dx P-4z+ia (х) -JL (я* _ 1) J- р (X, t \хо, to)
(4.13')
1
с начальным условием
Pf"(lA) = ^-V.+in(;ro)- (4-1в)
Интегрируя дважды по частям в правой части (4.13') и используя
дифференциальное уравнение Лежандра для P^j..+щ (х)
Р-Ч"Ъ (х) = ~ (^ + х) P-V.+iM (х)> получаем
обыкновенное дифференциальное уравнение для pt (ц)
dpt№ 2 / 2 , 1 \ / N
-д- = 2 + -)Pi ао,
решение которого с начальным условием (4.18) имеет вид
Pt (И-) = P-'/z+w Ы ехр {- о2 (yi2 + (t - f0)|.
Используя теперь формулу (4.16), получаем запись решения уравнения (4.13)
в виде интеграла Мелера - Фока:
p.(x,t\xo,t0) =
со
= jj d\i ц, th [XJt ехр |- о2 (ц2 + (t - i0)j Р-ЧЛщ И Р-члщ Ы-о
(4.19)
Если в начальный момент времени t0 = 0 величина х0 = 1, то мы получаем
выражение
ОС
Pt (х) = ^ [X th (лл ехр |- 02 (^ + 4-)4P-V^.u(*), (4.20)
о
соответствующее решению УЭФ для одноточечной плотности вероятностей с
начальным условием
Р0 (х) = ё(х- 1).
Выше мы говорили об общих методах решения УЭФ как для плотности
вероятностей перехода, так и для одноточечной плотности вероятностей.
Задача о нахождении одноточечной плотности
вероятностей, одпако, может иметь и специфические черты, свя-зашше с
возможностью существования стационарного решения, которое в ряде случаев
удается найти непосредственно. Это стационарное решение, если оно
существует, не зависит от начальных данных и представляет предельное при
t -оо решение УЭФ. Существуют два класса задач, для которых стационарное
решение УЭФ находится легко. Это, во-первых, случай одномерных нелинейных
систем уравнений и, во-вторых, случай гамильтоновых систем уравнений.
Рассмотрим эти случаи более подробно.
Одномерные нелинейные системы с флуктуирующими параметрами
описываются стохастическим уравнением
-gj~ = f(x) + z(t)g(x), х(0)=х0. (4.21)
Соответствующее УЭФ имеет вид
(х) Pt g № llr g № Pt (4-22)
Стационарное распределение вероятностей Px (z), если оно существует,
удовлетворяет уравнению
/ (х) Рас (х) = a2g (х) ~ g (х) Рсо (х) (4.23)
(мы считаем, что Р(х) сосредоточено во всей области пространства, т. е. -
оо < х < оо), решение которого таково:
р~{х)= <*•"> где постоянная С определяется из условия
нормировки
сс
j dxPx(x) = 1.
-сс
В частном случае / (х) = - Хх, g (х) = 1, описывающем флуктуации скорости
броуновского движения частицы (см. (2.1.1)), выражение (4.24) принимает
вид гауссовского распределения вероятностей:
Р с
(х) = С ехр |- - ж21. (4.25)
Другой тип уравнений, позволяющий получать стационарное распределение
вероятностей, описывается гамильтоновой системой
дН <iPi он . . , ... ,,
= -ж = --яг-Ьр1 + М*)' (4-26)
*г г
где i - 1, 2,. . ., N, а функция Гамильтона Н (г, р) = р\!2 + + U (v-х,.
. ., Гп), к - постоянный коэффициент (трение), а слу-
87
чайные силы f t (t) - гауссовские дельта-коррелированные случайные силы с
тензором корреляций
</" (*) ft (0> = 2о2М"р6 (t - П (4.27)
(здесь а и р - векторные индексы).
Система уравнений (4.26) описывает броуновское движение системы N
