Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
частности, полагая в (3.19) = Ц = . . . = tn = t, получаем
формулу для одновременной кумулянтной функции
г* (* Гz (Т)1
- ^ .. . \dx!.. . dxnB (t, x 0 ... В (i, т") <6^-i)t;:,6z(g> • (3.20)
55
Формула (8.20) впервые была получена в работе [45].
В заключение отметим, что для гауссовского марковского процесса
может быть получена простая формула, описывающая корреляцию функционалов
<Fu [z (ti)] Ru [z (т2)]>, где Tj U t.2 (см. следующий параграф, формулу
(4.5')).
Рассмотрим теперь пуассоновский процесс, определенный в первой главе
выражением (1.3.14), для которого логарифм характеристического
функционала определяется формулой (1.3.18).
Формулы (2.17), (2.19) для пуассоновского продесса принимают вид
г t
9-г [и (?)] = - iv § dx g (t' - т) W dx'v (х') g (%' - т)\
(3.21)
о т
\ I
о, [у (т)] = - iv § dx g (t - т) W п dx'v (т') g (х' - x)j, (3.22)
о т '
г ре
ос
^ М = -d~ap~ =i\ d^p (r) ехр
- х>
Равенства (3.21), (3.22) можно, сменив порядок интегрирования,
переписать следующим образом:
Ог[у(т)]
=
t' i = v j dUp (I) j dx g (t' - t) exp | il j dx'v (x?)
g (x' - x)| (I' < t),
- sc 0
X
(3.23)
а выражение для корреляций случайного процесса и функционала от него
таково:
(z{t')Rt [z
(т)]> =
оо t'
~v j d%lp(l) ^dx'g (t' - x') <#, [z(t) + (т - t')]>
(t'<t).
- oc 0
(3.24)
Эта формула была получена в работе [16].
В первой главе мы говорили о том, что случайный процесс п (0, ?),
описывающий число скачков на интервале времени (0,t), является частным
случаем пуассоновского процесса при ?, = 1 (Р (?) - б (S 1) и g (t) = 0
(?)). Для этого процесса формула
(3.24) принимает особенно простой вид:
<п (0, t') Rt [п (0, т)]> = v
= v j dx <i?j [п (0, т) + 0 (t' - т)]> (t' ^t).
(3.25)
о
Равенство (3.24) является обобщением на пуассоновские процессы формулы
(1.1.29) для пуассоновских случайных величин.
56
§ 4. Процессы телеграфного типа
Обратимся теперь к процессам телеграфного типа, уравнения для
характеристических функционалов которых были получены в первой главе.
Прежде всего рассмотрим телеграфный процесс, определяемый формулой
(1.3.26):
z (t) = а (-1)-^ <о, о (0) z2 (/) =
а2), {кЛ)
где а - детерминированная величина. Для этого процесса мо-ментные функции
n-го порядка удовлетворяют рекуррентному равенству (1.3.27):
Мп (h, . . ., tn) - <z (tx) . . . z (tn)} =-¦
= <z (ti) z (t2)> Mn-о (f3, . . ., tn) (h > t2 > . . . > tn > 0) (4.2)
(<z (t)} = a exp { - 2vf}, <z (t^ z (f2)> = a2 exp {-2v) ^ - t21 }). Из
рекуррентного равенства (4.2) немедленно следует выражение <z (*i) z (t2)
R [z (t)J > = <z (tx) z (t2)> <R [z (t)]>, (4.3)
справедливое для произвольного функционала R [z (т)] при условии т t2 Для
доказательства (4.3) следует разложить функционал R [z (т)] в ряд Тейлора
по z (т) и использовать формулы
(4.2). Равенство (4.3) было впервые получено в работе [18], где было
также показано, как использовать его для анализа стохастических линейных
систем.
Пусть теперь величина а будет случайной с плотностью распре-
деления вероятностей р (а) - -^-[б (а - а0) + б (а + а0)]. В этом
случае 1 - 0 и, кроме равенства (4.3), имеет место следующее равенство,
также полученное в [18]:
(F Iz (tj)] z (ti) z (t2) R [z (t2)]> =
=-= <F [z (ti)]> <z (tx) z (t2)} <R [z (t2)]> +
+ <F Iz (t,)I z (?,)> <z (t2) R |z (t2)]>,
(4.4)
справедливое для любых Ti ti ^ t2 ^ т2 и произвольных функционалов F [z
(т^] и R [z (t2)]. В самом деле, разложение функционала R [z (т2)1 в ряд
Тейлора по z можно записать в виде ряда
Д[г(т2)] = S , где первая сумма содержит четное число сом-
ножителей z, а вторая - нечетное. Учитывая, далее, формулы
(4.2) и равенства
<i?[z(T2)]> = <2>, <г(г2)Д [z(t2)]>= (z(t2) 2 >.
2V 2Л-+1
Получаем формулу (4.4). Формулу (4.4) можно переписать в другом виде.
Обозначим функционал F [л (тг)] z (^) через F.u [z (ti)], гДе Ti ti, а
функционал z (t2) R [z (т2)] - через Й'г [z (т2)], где
