Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
громоздких расчетов.
Эти трудности удалось в значительной степени преодолеть после того, как
согласно (1.14) был введен газодинамический показатель адиабаты К, а
внутренняя энергия смеси газ - излучение в расчете на единицу массы
вещества была представлена в виде (1.12). В результате из условий
сохранения (7.1) - (7.3) удается получить выражения для скачков
параметров, которые внешне полностью совпадают с выражениями классической
теории ударных волн и которые допускают очевидный переход к этой теории в
случае, когда эффектами излучения можно пренебречь (при /3 -> 1 имеем К
у). Для замыкания упомянутой системы (7.1)-(7.3) к ней прибавляется еще
уравнение (7.13), связывающее параметр /3 (а следовательно, и показатель
К) по обе стороны ударной волны.
При определении скачков параметров на фронте ударной волны разрешим
прежде всего условия сохранения массы й импульса (7.1)-(7.2) относительно
скачка давления,
§ 8. Скачки параметров на фронте ударной волны с излучением
(8.1)
где использовано соотношение их = -D.
45
Далее используется условие сохранения энергии (7.3). Для общности в нем
уместно сохранить член с Q (см. (7.8)), которым учитываются возможные
потери энергии на фронте волны. После исключения из этого уравнения
скорости движения вещества и учета соотношения (8.1), следует
р п "m2
2 Г,М2 / К2 \
-= 1 +------(1-------) X
Р\ к2+1 \ г,м2/
м=(,-А)
L V г,м2/
Здесь удобно ввести обозначение 1
Г АС, - AC, Q т
!--------------:-----------(АС, -1) -
L Г, (АС, - 1) 2а
(8.2)
Д =
2(АС2 +1)
м
(.-Л)
\ г,м2/
2 [ г, (АС,
К2 Q
--------------(К2 -1)
- 1) 2а
у]-
(8.3)
после чего выражения для скачков давления, плотности и скоростей движения
перед и за фронтом ударной волны сводятся к виду
Рг 2Г, М2............
(8.4)
2 2Г, М / АС, \
-('-А)
1 V г, м2 /
и 2 ^2 2
\/, К2 +
(1 + А).
(8.5)
Скачок температуры на фронте ударной волны определяется очевидным
выражением
^2 _ &2 Р2 ^2
д,/3,Я, V,
или, после подстановки (8.2) и (8.3),
М202 (Кг -1\2 М.Э. V Кг +1/
_^2 М202
Ух
2 АС, (АС2 + 1)
(АС, - 1) (АС2 -1)
Г(М4 -АС,(1 +2Г,М2) АС2+1 Г, Q 1+Г,М2
+ ---------------------- + А +-!- X
(Кг - 1)Г,М2
К2- 1 aj
/
ПМ4 + К\ (1 +2Г,М2) Г, М2 (АС2 - 1)2
2 АС, (АС2 +1)
К2+ 1 Г, Q
(АС, - 1)(АС2 - 1) К2-1 а?
(8.6)
В эти уравнения входит еще параметр /3. Поэтому система (8.4)-(8.6)
дополняется уравнением (7.13), которое можно переписать и так:
1
г,м2
1 -0,/ г2\4 1 л,0,(1 -Рг) / 7",4 3
1-0,/ М" _
1 ~Рг V Г, /
1 -
Д202(1 -0.)
(8.7)
В случае сильных ударных волн (М > 1) эта система уравнений значи-
тельно упрощается и при дополнительном условии \ Q\ > а] сводится
46
к виду Рг ш
Рх
Ъ- =
Vx '
Г,М2 К2 + 1
К2 - 1
1 + J 1 -
(К\ -1)
К 2 + 1
h Кг~
Тх
л
Ю -1)
(К2 +1)-
(К2
-1 ц2@2 J к2 +1 / /ci - 1
:----- l2lir,M 1 + -Ц-0+ Vi-Л-о
+ 1)- Л10, L о2 О
(8.8)
(8.9)
(8.10)
Если потерями энергии на фронте ударной волны можно пренебречь, то при Q
= 0 находим из (8.8) - (8.10)
Р2 2Г,М2
~Р~У К 2 + 1 '
Р2 _ К2+1
Рх К2 - 1
2(Кг-1) р2|32
г7
-Г,М2,
(8.11)
(8.12)
(8.13)
(8.14)
(К2+1)2 *1.0, тогда как уравнение (7.13) принимает вид
/ M,j3,\4 1 -02 _ [ 2Г,М213/*~2 -1\4
\РгРг/ 1 - 0i -^2+1J \^2+1/
В случае сильной ударной волны параметр р2 становится весьма малым, так
что К2 ^4/3. Поэтому из формулы (8.13) следует
60г(1гО2
Т2 * ..Г2М2- . (8.15)
49 R
Учитывая, что при 02 < 1 Я2 рК2 ~~ Г2, из (8.11) можно непосред-ственно
получить приближенную формулу для оценки температуры за фронтом ударной
волны
\ 14о /
(8.16)
Как видно, для сильных ударных волн температура за фронтом увеличивается
пропорционально корню квадратному из величины скорости движения волны.
Сравнивая соотношения (8.15) и (8.16), находим приближенную формулу для
оценки параметра /32 за фронтом сильной ударной волны
49Я / 9ср, \,/4 ,, 1 /р, \,/4
Р2 * -----(-------г) = 2,9 -10 -- (-г) ' (8.17)
6рД 14aD6 ) Р2\06/
где Pi - в г/см3, D - в см/с.
И, наоборот, если давлением и плотностью энергии излучения перед и за
фронтом ударной волны можно пренебречь (т.е. при /32 = Pi = 1), то
система (8.4) -(8.6) при Q = 0 и Г, = Кх - К 2 = у сводится к известным
47
уравнениям классической газодинамики
Р2 2уМ2 - (7 - 1)
Рх
Рг
р7
Тг
Л
7+1 (7 + 1)М2 (7 - 1)М2 + 2 '
цг [27М2 - (7 -1)П<7 -DM2 +2]
(8.18а)
(8.186)
(8.18в)
(7 + 1 )2 М2
В частности, из (8.18 в) следует, что температура за фронтом сильной
ударной волны без учета эффектов излучения при у = 5/3 равна
3 ц202
П =
16Я
(8.19)
Сопоставляя выражения (8.15) и (8.19), находим, что величина
т = •
Т2 32(/С 2 - 1) 3 (Кг + I)2
32
49
02
для сильных ударных волн может быть существенно меньше единицы, так как
02 < 1. Отсюда следует, что учет эффектов излучения за фронтом ударной
волны важен прежде всего для правильного определения температуры 7"2. Это
тем более существенно, что именно величиной температуры определяются все
наблюдаемые эффекты, связанные с движением ударных волн в атмосферах
звезд.
