Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
выполняется соотношение (9.59), конкретная (действительная,
неотрицательная) функция f(v) остается произвольной.
Следует отметить, что нормально упорядоченные характеристические функции
для хаотических полей имеют ту же общую структуру, которая была указана в
гл. 3 для случая классических полей. Величина й может появиться только
либо в функции Gjh в общем соотношении (9.48), либо в функции T(v) в
производном соотношении (9.59).
Стационарные состояния. Особое значение во многих отношениях имеют
стационарные состояния поля излучения. В представлении Шредингера, в
котором со временем изменяется только матрица плотности, условие
независимости от времени можно записать в виде
р (t) = e~i3filhpei3ftlh = р, (9.60)
т. е. матрица плотности р должна коммутировать с Ж. Представим себе
снова, что поле излучения ограничено большим, но конечным объемом
квантования L3 и наложены периодические граничные условия. В этом случае
спектр Ж дискретен и имеет конечную кратность. Введем ортонормированные
собственные состояния гамильтониана Ж\
Ж | Еп, am) = Еп | Еп, ат), (9.61)
где Е" - собственные значения энергии, а параметр вырождения ат отмечает
состояния с фиксированной энергией. Стационарные матрицы плотности
диагональны в энергетическом представлении; следовательно, они имеют
каноническую форму
Р = 2 Ршп I Еп, ат) (Еп, ат |, (9.62)
п, т
где величина
Ршп = (Еп, "т IР I Еп, ат) (9.63)
удовлетворяет условиям и
2 fw = i.
(9.64)
§ !. ХАОТИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ СОСТОЯНИЯ 305
Нужно подчеркнуть два момента. Соотношение (9.62), вообще говоря, не
означает, что р = /7(<5{?), так как тогда величина
Рп" = (Еа, ат I F (Ж) | Еа, ат) = F (?") (9.65)
не зависела бы от переменной т. Далее, стационарные состояния типа (9.62)
включают значительно больше случаев, чем обсуждавшиеся выше стационарные
хаотические поля.
Энтропия и равновесное тепловое распределение. Выделим состояния поля
излучения, соответствующие равновесным тепловым распределениям.
Равновесие означает, что состояние не меняется во времени, т. е. что р -
матрица плотности стационарного состояния. Тепловой характер состояния
проявляется в том, что это есть состояние с наибольшим беспорядком или с
максимальной энтропией.
Энтропия S(p) какого-либо состояния системы определяется соотношением ')
S(p)= -Sp(plnp). (9.66)
Если матрицу плотности представить в канонической диагональной форме
ОО
р= 2 МФпХФп I,
/1=1
оо
0<Р"<1, 2р"=1, (9.67)
/1 = 1
то вышеприведенное соотношение принимает вид
{ОО ¦) со
2 Pn In Pn I Фя> <Ф" I = ~ 2 Ря In р". (9.68)
/1 = 1 ) п=1
Для любого чистого состояния мы можем выбрать Pi = l,
Р" = 0, я > 1, поэтому S(p) = 0. Для любого смешанного состояния
S(p)>0.
') См., например, книгу фон Неймана [5.4].
306
ГЛ. 9, КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Интуитивно ясно, что чем больше энтропия какого-то состояния, тем меньше
мы о нем знаем. Рассмотрим матрицу размерностью 2x2, которая
использовалась в гл. 5 при обсуждении поляризации монохроматического
пучка. Если р, = р и р2 = 1 - р, то состояние с матрицей плотности
т. е. при р = '/г, и, таким образом, соответствует матрице плотности,
содержащей наименьшую информацию: р=72.
В общем случае для двух матриц плотности pi и р2 и параметра а, лежащего
в пределах выпол-
няется соотношение
S (ар, + (1 - а) р2) > аS (р,) + (1 - а) S (р2), (9.69)
т. е. энтропия смеси превышает взвешенные суммы энтропий составляющих эту
смесь компонент. Рассмотрим теперь составную систему, которую удобно
описывать с помощью двух индексов п и т. Для такой системы
ооладает энтропией
5 (р) = 5 (р) = - р In р - (1 - Р) In (1 - р.). Энтропия максимальна,
когда
5' (р) = - 1 - In р + 1 + In (1 - р) = 0,
Р 2 Vп, т I Фгс, т) т I"
п, т
и энтропия равна
S(p)= - 2 Уп, mlnY", т-
п, т
В частном случае, когда две системы независимы, что характеризуется
соотношениями
§ 1. ХЛОТИЧЕСКПЕ И ТЕПЛОВЫЕ СОСТОЯНИЯ
307
энтропия равна сумме энтропии, рассчитанных независимо для каждой
системы:
5 (р) 2l 7rtpm ^ (^лРт)
п, т
Яп 1н Яд \хгп 1и \х,п. (9. /0)
п т
Можно предложить обозначение, подчеркивающее, с одной стороны,
независимость этих систем, а с другой стороны, то обстоятельство, что
матрица плотности всей системы равна произведению матриц плотности
отдельных компонент
5 (р, (r) р2) = 5 (р,) -)- 5 (р2). (9.71)
Определим равновесное тепловое состояние как состояние с максимальным
значением энтропии S(p) при данном среднем значении энергии Е = {Ж) = Sp
(р<5$?). Чтобы найти это состояние, обратимся к общему представлению
матрицы плотности (9.62) для равновесных состояний и рассмотрим
S(p)= - Sp (р In р) - р [Sp (рЖ) - ?] + р [Sp (р) - 1] =
- _ У R InR _
-i iJnm 1ИНш ti, т
-p(Sp"m?n-^ + n(2pnw-l\. (9.72)
\п, т ) \п, т )
Здесь р и р- множители Лагранжа, обеспечивающие выполнение необходимых
связей и позволяющие найти экстремум величины S путем независимой
вариации каждого множителя pnm. Должно выполняться условие
-J- S (р) = - 1 - In p"m - р?" + р = 0.
