Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Подавляющее большинство макроскопических полей, возникающих естественным
путем, являются по своим свойствам тепловыми. Рассмотрим этот важный
случай несколько подробнее. Начнем с вывода соответствующих состояний, а
позднее обсудим некоторые свойства полученных решений.
А. Квантовая центральная предельная теорема
Классическая центральная предельная теорема. Один из основных результатов
классической теории вероятности заключается в том, что распределение
случайной величины
равной сумме независимых и "подобным образом" распределенных случайных
величин хп, при больших N является гауссовым. Как следует из соотношения
(3.9), среднее и дисперсия такого распределения определяются выражениями
N
x = N Чг 2 хп,
(9.1)
N
(х) = N '1г 2 (хп),
П = \
(9.2а)
N
<(Дx)2) = N 1 2 l(xnxm) - (хп) (xm)] =
п, m-1
N
(9.26)
290 ГЛ. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
соответственно. Так как среднее и дисперсия гауссова распределения
обязательно должны быть конечными, то для того, чтобы распределение
величины х приближалось к нормальному, необходимо существование и (хп) и
(х1)• Наличие множителя N гарантирует сходимость выражения для дисперсии
при больших N в случае "подобным образом" и, в частности, одинаково
распределенных величин хп. Если среднее (х) становится исчезающе малым,
то без потери общности можно считать, что среднее каждой величины хп
равно нулю. Как мы сейчас покажем, аналогичная центральная предельная
теорема справедлива в квантовой теории при сходных и не очень сильных
предположениях. Начнем анализ со случая одной степени свободы.
Квантовый аналог для случая одной степени свободы. Как было показано в
гл. 7, состояние одной степени свободы (не обязательно нормальной моды)
переводится из основного 10) (0 j в когерентное |z)(z| внешним
вынуждающим источником, характеризуемым величиной z. Далее, если мы
представим, что z состоит из большого числа N вкладов, то можно положить
\z)(z\ = \N-'h'Zzn)(N~'hZlzn\. (9.3)
Интуитивно ясно, что тепловое или хаотическое поле - это такое поле,
амплитуда которого складывается из очень большого числа малых вкладов,
причем распределение каждого из них можно считать независимым.
Пусть rn(zn)-распределение (в смысле гл. 8) элементарного вклада zn.
Предполагая, что каждый из вкладов zn может флуктуировать, мы приходим
эвристически к матрице плотности
р = | cp(z)|z)<z|dp(z) =
N
^ j N~'k ^ Zn) (N~1/2 И IIГп d[L (9-4)
/г - 1
Следовательно, выражение для qp(z) дается многократной сверткой,
аналогичной обсуждавшейся в гл. 8. Используя соотношение (8.204) и
учитывая множители N~'h-,
§ 1. ХАОТИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ СОСТОЯНИЯ 291
мы получаем выражение для фурье-образа стоящей в (9.4) весовой функции
V
¦ <*>•*>
л = 1
Это выражение представляет собой простое обобщение многократной свертки
(8.205). Итак, мы убеждаемся в том, что если rn(zn)-диагональный вес для
матрицы плотности р" при всех п (что мы предполагаем), то ф(г)
представляет хорошую диагональную весовую функцию, дающую правильное
выражение для матрицы плотности р при всех N. Тогда из (8.1496) вытекает,
что
| ф(х, k) К ехр j-g- (х2 + &2)], (9.6)
так как ||рЦ i = Sp(p)= 1; но это сразу следует из (9.5)
при учете соотношения
| r"(x, k) |< ехр [-^ (х2 + &2)]. (9.7)
Чтобы понять суть дела, остановимся на случае оди-
наковых распределений гп, гп = г. Тогда мы, очевидно, имеем
\?(* * . (9.8)
N'l* n*4
ф{х, k) =
Предполагая, что для достаточно малых х и k
А_
2Й
г (х, k) " 1 - {х2 + k2), (9.9)
получаем
ф(х, k) ~ [l - (x2 + fe2)]yv.
Последнее выражение для бесконечно больших N принимает вид
ф (х, k) = ехр [ - -Jt (х2 + k2)j (9.10)
для всех х и k. Для справедливости этого выражения достаточно, чтобы
функция г была дважды дифференцируема в начале координат и имела там
исчезающе
292 ГЛ. 9. КОНКРЕТНЫЕ состояния ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
малые первые производные. [Иначе говоря, это есть условие, налагаемое на
первые два момента г; точнее, (а) = 0, (а+а)< оо, где матрица плотности
определяется распределением г (г).] В дальнейшем будем считать, что эти
условия для г выполнены. При этом не обязательно предполагать, что r(x,k)
зависит только от х2 + k2. Например, следующим членом в возможном
разложении г в степенной ряд может быть (х2 + 2k2)2 + х4. Тем не менее
результирующая функция ф зависит только от х2 + k2. Более того [ср.
(8.190а)],
(afa) = J r(z)\z |2 dii (z) =
---§Ы?+<йг'(*' А- <9-п>
откуда следует, что А > 0. Если А - 0, то ф (х, k) = 1 и для матрицы
плотности имеем р = |0)(0|. Мы можем поэтому исключить этот случай и
принять А > 0. Тогда получаем, что весовая функция ф (х, k) является
стандартной гауссовой и поэтому таковым же является диагональный вес ф(р,
q). Точнее говоря,
ф(Р> <7) = Л-1ехр[- iP2 + q2)], (9.12)
что при использовании комплексной величины z принимает вид
^ = 7^ехр(~М")' (9,13)
где мы положили A = {\ z\2) = {N). Нормальное распределение (9.13) для
ф(г) аналогичным путем вывел Глаубер [8.1].
Общее решение. Соотношение (9.13) представляет собой основной результат
