Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
форму (9.10) с неотрицательной дисперсией.
Если предположить, что там, где это необходимо, был произведен переход к
"благоприятным" когерентным состояниям, то мы можем следующим образом
подытожить наши результаты: при наличии очень большого числа независимых
и подобным образом распределенных вынуждающих членов матрица плотности
для одной степени свободы определяется с помощью весовой функции
ф (х, &) = ехр [ - -gy А (х2 + &2)] ,
откуда для канонической диагональной весовой функции получаем
ф(2) = Wexp(~ Ш)' (9,28)
где А = (|z|2) = (N). При {N) = 0 этот результат можно представить в виде
qp(z) =я6(,г), где 6 - двумерная 6-функция, определяемая соотношением
(8.137). Отсюда вытекает важное следствие: результирующее каноническое
распределение является фазоинвариантным, ф(^) = = cp(|z|), независимо от
того, как оно возникло.
Довольно легко понять, что то же самое распределение ф(г) применимо даже
в тех случаях, когда индивидуальные распределения rn(zn) не идентичны, но
в достаточной мере "схожи" (аналогично тому, как это требуется для вывода
центральной предельной теоремы). Мы не будем здесь приводить
доказательство этого положения. Закончим рассмотрение случая одной
степени свободы прямой демонстрацией того, что гауссова весовая функция
qp(z) ведет к знакомому оператору плотности для теплового состояния.
Конкретнее, мы можем написать
Р==1Е I ^iA)\z)(z\d2z =
ОО
=^w/expl-|z|2(1+w~1)] 2 (^pln><m,d22"
п, ' '
(N)
п=О
§ 1. ХАОТИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ СОСТОЯНИЯ 297
SlTF J I ^ i2"ехр[ - \z |2(l +(N)-')]\n) (n\d\z\2 =
оо
do ^ + W1) "+l 1") (n I=
n=0
1
1 + (N)
n=0
т. e. мы получаем распределение, имеющее такой же вид геометрического
ряда, что и распределение Бозе - Эйнштейна. Положим
(9.30)
(N)
с ¦ =1 тогда
оо
Р = (1 -е-Р*(r)) 2 е-пР*и|л><п|. (9.31)
п=0
Так как уровни энергии осциллятора Еп = яйсо, то соотношение (9.31), как
это показано ниже, описывает равновесное тепловое состояние.
Б. Обобщение на случай многих степеней свободы
В качестве предварительного шага для получения тепловых или хаотических
состояний поля излучения проведем непосредственное обобщение нашего
предыдущего анализа на случай многих степеней свободы. Как и раньше,
будем считать, что они могут и не быть нормальными модами поля излучения.
Пусть r({zh}), k = \, ..., К, обозначает диагональное распределение
идентично распределенных элементарных вкладов. Тогда для фурье-образов
гиф выполняется соотношение, аналогичное (9.8), а именно
kk
N'k
(9.32)
Если на г наложены соответствующие условия, аналогичные рассмотренным
ранее, то эта функция при
298 гл. 9. КОНКРЕТНЫЕ состояния ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
N -> оо имеет предел, который можно записать в общем виде
Ф ({Xkl ih}) = ехр | - щ {xrBrsxs+2xrCrsks + krDrsks)J.
(9.33)
Здесь В, С и D - определенным образом выбранные матрицы. Элементы этих
матриц имеют вид
Brs = Bsr = ±(PrPs)-±6rs, (9.34а)
Drs = Dsr = j (QrQs) -1 б", (9.346)
Crs - ~^(PrQs + QsPr)- (9.34b)
Они действительны, так как являются средними значениями эрмитовых
переменных. В очевидных матричных обозначениях показатель экспоненты в
(9.33) записывается в виде
<">(? ")(!)•
где Ст - транспонированная матрица С. Отсюда видно, что полная
квадратичная форма действительна и симметрична и поэтому может быть
диагонализована путем ортогонального преобразования переменных х и k.
Если новые переменные, возникшие в результате этого преобразования,
обозначить тоже х и к, то (9.33) принимает вид
Ф (Ы> Ы) = ехР (- i 2 (Bk4 + ЗД)
I к
Наконец, изменением масштаба, сохраняющим соотношение [Qs, Л] = ibbrs,
приводим это выражение к каноническому виду
Ф ({**}• (К}) = ехР j " W S Ак(4 + kk) J - (9.35)
где /4ft ^ 0 для любого k, в соответствии с проведенным выше обсуждением.
Суть этих замечаний состоит в еле-
§ 1. ХАОТИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ СОСТОЯНИЯ
299
дующем: используя возможность свободного выбора угловых частот (Ой и
канонических переменных, мы всегда можем, как и раньше, выбрать такие
"благоприятные" когерентные состояния в диагональном представлении для
хаотического поля, для которых функцию ф можно представить в каноническом
виде (9.35). Для таких "благоприятных" когерентных состояний диагональная
весовая функция записывается в виде
•р{{Zk}) = П w ¦6X15 ('~ та) ¦• (9-36)
k=\
где /1ft = ([Zft|2) = (Nh). Если (Nh) = 0 для некоторого k, то, очевидно,
множитель в (9.36) можно представить в виде яд (2ft).
Прежде чем переходить к пределу К-*оо, заметим, что из (9.36) вытекает
следующий результат:
(К) I Р I К}) = J Ф ((2ft}) ] <{2;} | К}>I2 dp ({2,}) =
= 11 J Wexp(-W-\zk-zkf)dHzk) =
k=\
_ 12
Wexp
k=l
(9.37)
Как подчеркивалось в гл. 7, эти диагональные элементы однозначно
определяют матрицу р.
В. Хаотические и тепловые поля излучения
В гл. 8 было доказано, что любую матрицу плотности поля излучения можно
представить в виде (8.231), т. е. как предел последовагельности
записанных в диагональном виде операторов, каждый из которых отвечает
конечному числу степеней свободы. Здесь было бы естественным принять
