Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
e'>.
Рис. 14.3. Число орбиталей в энергетическом интервале :\е равно числу
орбиталей в интервале квантовых чисел Ап - (dn/de) Ае.
de 2л3Й3
Используя формулу (8), для плотности орбиталей получаем
но
Такова зависимость плотности орбиталей от энергии для свободных частиц в
объеме V. Умножая (11) на функцию Ферми - Дирака (рис. 14.4), находим
3)(e)f(e), т. е. плотность заполненных орбиталей (рис. 14.5).
В качестве примера использования (11) можно теперь записать полное число
электронов в системе в виде
оо
N= J de?)(e)f(e), (12)
о
где/(е)-функция распределения Ферми - Дирака. Произведение 0(e)f(e) дает
плотность занятых орбиталей. Полная энергия системы равна
оо
U = J de ей5 (е) / (е).
о
(13)
192
ГЛ. 14. ПРИМЕНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ - ДИРАКА
V
f(e) 1
ex Р[(е -А. Щ +У
'//
у4 % V?
и 0,2 0,0 0,6 О,В 1,0 1,2 1,0
Энергия, eff.pi
Рис. 14.4. График зависимости функции распределения Ферми - Дирака f (в)
от в/p для нулевой температуры и для температуры т = '/5р.
Величина f(e) определяет долю занятых орбиталей с данной энергией в
случае системы в тепловом равновесии. При нагревании системы (от
абсолютного нуля) электроны переходят из заштрихованной области с е/д<] в
заштрихованную область с е/д>1. Для металлов д может соответствовать 50
ООО К.
Энергия <г -
Рис. 14.5. Зависимость плотности орбиталей от энергии для газа свободных
электронов в трехмерном случае.
Пунктирная кривая описывает f (е) 3) (е) для занятых орбиталей при
конечной температуре, малой по сравнению с Вф, Заштрихованная область
представляет занятые орбитали
?ри абсолютном нуле.
ЭНЕРГИЯ И ТЕПЛОЕМКОСТЬ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА
193
Если система находится в основном состоянии, то все орбитали с энергией
до бф заполнены, а все орбитали с более высокой энергией свободны. Полное
число электронов равно
вф
1V=J de,?){e), (141
О
и для энергии имеем
бф
U0= J des?){s). (15)
Объем, см3
Рис. 14.6. Зависимость давления 1 моля электронов в основном состоянии от
объема.
Задача 14.2. Плотность орбиталей при энергии Ферми. Рассмотреть газ из N
свободных электронов. Показать, что плотность орбиталей при энергии Ферми
8ф равна
= °6)
Указание. Прологарифмировать обе части (3) и записать dN/deф
Задача 14.3. Плотность орбиталей в одно- и двухмерном случае.
а. Показать, что для свободной частицы в одномерном случае плотность
орбиталей равна
(¦&)*•
где L - длина отрезка, ограничивающего движение частицы.
б. Показать, что в двумерном случае
(18)
не зависит от е. Здесь L2-площадь поверхности. Результат в трехмерном
случае дается выражением (11).
Задача 14.4. Давление вырожденного ферми-газа.
а. Показать, что давление электронного ферми-газа в основном состоянии
равно
(3я2)!/з Ь? ' v Р= к-
(-W •
(19)
так как при равномерном увеличении объема куба энергия каждой орбитали
уменьшается: энергия орбитали пропорциональна 1/L2 или 1/V /з.
Указание. Использовать соотношение (6).
б. Используя данные табл. 14.2, найти давление электронов в
металлическом натрии. Зависимость давления от объема приведена на рис.
14.6 для основного состояния ферми-газа.
Энергия и теплоемкость электронного газа
Найдем количественное выражение для теплоемкости вырожденного ферми-газа
электронов в трехмерном случае. Этот расчет является, возможно, наиболее
ярким успехом теории
7 Киттель
194 гл. 14. ПРИМЕНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ - ДИРАКА
вырожденного ферми-газа. Для идеального одноатомного газа теплоемкость
равна 3/г^Б, однако для электронов в металле найденное значение оказалось
значительно меньше. Результаты приводимых ниже вычислений находятся в
прекрасном согласии с экспериментальными данными.
Возрастание полной энергии системы из N электронов при нагревании от 0 до
т обозначим через AU s U(т)- Д(0). Тогда
имеем
оо 8ф
AU = ^ dee2){e)f (е) - ^ deei?>(e),
о о
(20)
где /(е)- функция Ферми - Дирака, введенная в гл. 9, a <Z)(e)- число
орбиталей на единичный энергетический интервал. Умножая обе части
соотношения
оо 8ф
N = J de / (е) 2D (е) = J de0(e) (21)
*/*ф
Рис. 14.7. Зависимость энергии от температуры для газа свободных
фермионов в трехмерном случае. По оси ординат отложено отношение AU/NBф,
где N - число элекронов, по оси абсцисс - отношение т/8ф.
на еф, получаем
(f*D
de еф/ (е) <Z)(e) =
Ф
= ^ deeQ,g){e). (22)
Используя это соотношение, перепишем (20) в виде
оо Сф
AU = ^ de (е - еф) / (е) @) (е) + ^ de (еф - е) [1 - / (е)] @) (е). (23)
Первый интеграл в правой части (23) определяет энергию, необходимую для
перевода электрона с орбитали с еФ на орбиталь с е>еф, а второй -
энергию, необходимую для перевода такого же электрона на орбиталь с еф с
орбитали, лежащей ниже еф. Произведение /(e)iZ)(e) в первом интеграле
есть число электронов, "поднятых" на орбитали в энергетическом интервале
от е до е + de. Множитель [1 -/(e)] во втором интеграле есть вероятность
