Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
отрезке длиной L. Каждый уровень соответствует двум орбиталям-одной со
спином, направленным вверх, и другой со спином, направленным вниз; б-
основное состояние системы из 16 электронов. В основном состоянии
орбитали, лежащие над уровнями, на которых символически показаны
электроны, свободны. Примечание. В одномерном случае плотность орбиталей
уменьшается с увеличением энергии; в трехмерном случае плотность
орбиталей увеличивается,
как на рис. 1.2.
Если система содержит 8 электронов, то в основном состоянии орбитали с п
= 1, 2, 3 и 4 заполнены, а орбитали с большими значениями п незаполнены.
При любом другом распределении электронов их суммарная энергия выше.
Пусть л-ф обозначает квантовое число наивысшей заполненной орбитали
системы N невзаимодействующих электронов в основном состоянии. Будем
заполнять орбитали, начиная с наинизшей с л - 1, помещая электроны на
более высокие орбитали до тех
СОСТОЯНИЕ ФЕРМИ-ГАЗА В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ
189
пор, пока все N электронов не будут размещены. В данной главе мы для
удобства будем считать N четным числом. На рис. 14.1 показаны заполненные
орбитали для основного состояния системы, состоящей из 16 электронов.
Основное состояние ферми-газа в трехмерном случае
Энергия Ферми еф для системы из N электронов определяется из условия, что
в основном состоянии, при энергии орбитали, меньшей
каждая такая орбиталь заполнена одним электроном. Система находится в
кубе со стороной L. Если система содержит N электронов, то должны быть
заполнены все орбитали вплоть до орбитали с квантовым числом Пф,
определяемым (10.22):
,, я з ч (3.V V/з
У = -д-лФ; пф = • (2)
При использовании (10.22) мы положили у = 2, так как спин электрона имеет
две возможные ориентации.
При L3 - V соотношение (1) можно переписать в виде
8ф
_ Й2 / Зл2М \7" "2 m\ V )
(3)
Вспоминая, что согласно (10.23) число орбиталей с квантовыми числами в
интервале от п до п -)- Ап равно пп2Ап, получаем для полной энергии
системы в основном состоянии
ГСф Пф
U0 = 2 ^ е" = я ^ ^пп2е" = 1^г(т) \dnn'i' Н)
1 п | < Пф 0 0
где е" = (h2j2m) (nn/L)2. Переходя от суммы к интегралу по
одной восьмой части сферического слоя, мы положили
2 ^ -> я ^ dn п!. (5)
П
После интегрирования (4) получаем, используя (1) и (2),
(6)
190
ГЛ. 14. ПРИМЕНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ - ДИРАКА
Средняя кинетическая энергия на одну частицу в основном состоянии равна
Uo/N, т. е. составляет 3/5 от энергии Ферми. Зависимость Uo,
определяемого (6), от объема изображена графически на рис. 14.2. Заметим,
что при постоянном N энергия возрастает с уменьшением объема,
т. е. энергия Ферми электронного газа вносит в силы сцепления в металле
вклад, соответствующий отталкиванию.
Задача 14.1. Энергия релятивистского ферми-газа. Найти ультрареля-
тивистский предел для полной энергии основного состояния релятивистского
ферми-газа из N электронов, находящихся в объеме V. Энергия электронов
определяется соотношением Ег = m2c4 -f р2с2, но можно положить Е " рс.
Указание. Как и в нерелятивистском пределе, импульс равен р = = hnn/L,
где п = (п1х + Пу + причем пх, пу, п2 - положительные целые числа. Таким
образом, приближенное значение энергии получается суммированием рс по
орбиталям со всеми квантовыми числами вплоть до п = пф. В общем случае
эта задача рассмотрена в [63].
Объвм, см3
Рис. 14.2. Зависимость полной энергии 1 моля электронов в основном
состоянии U0 от объема.
Плотность орбиталей в случае свободных частиц
Согласно (10.23) для свободной частицы число орбиталей с квантовыми
числами п = пх, пу, nz, лежащими в интервале между п и п + Дп, равно
72уяп2 Ап, (7)
где у - число независимых спиновых ориентаций. Если энергия орбитали
зависит только от п, то всегда можно вычислить тепловые средние,
используя (7), как это делалось при определении энергии основного
состояния ферми-газа Uo-
Часто представляется более удобным выражать тепловые средние не в виде
интегралов по орбитальному квантовому числу п, а в виде интегралов по
энергиям орбиталей е. Для этого преобразуем каждый интеграл по п с
помощью функции, которая называется плотностью орбиталей. Плотность
орбиталей определяется как число орбиталей на единичный энергетический
интервал и обозначается через 2D (г). В литературе 2D (г) почти всегда
называют плотностью состояний, но мы предпочитаем использовать понятие
орбитали для одной частицы, а понятие состояния - для многих частиц.
ПЛОТНОСТЬ ОРБИТАЛЕЙ В СЛУЧАЕ СВОБОДНЫХ ЧАСТИЦ
191
Найдем теперь число србнталей с энергией между е и е + de. Это число
обозначается 'J,. \-)de и определяется выражением
3b (е) de ¦
112У лп2 ^-ds,
(8)
если энергия е зависит только от п. Соотношение (8) следует
непосредственно из (7), как видно из рис. 14.3.
Для свободных частиц с массой М энергия связана с соответствующим
квантовым числом следующим образом:
й2
е~ ш
2MeL2 Л Чг .
От-)-:
/ 2MeL2 у/г. V. А2Л2 ) '
О)
тогда
dn
de
dn
- ( Vf'-
V 2h2n2e )
2 h2n2e L3 (2Мрг
(10)
