Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(")
небольших систем.
2
В качестве g, отложена функция -т=г ехр (
а в качестве g2
-функция -тгг ехр [-
V*
X2), <& -Ж") I.
М.
Для того чтобы произведение gjgo можно было видеть на этом графике, оно
умножено на 5-1013. (Множитель 2i'sTn включается обычно в стандартные
таблицы функций Гаусса.)
где Nu N2 и т остаются постоянными при изменении ть Вторая производная от
выражения (8) равна
-4 (1/М, + 1/JVa):
она отрицательна и, следовательно, экстремум действительно является
максимумом. Таким образом, наиболее вероятна та конфигурация, для которой
выполняется соотношение (9). Это соотношение можно переписать в виде
mi/M, = (m - m,)/M2 = m2/N2. (10)
Следовательно, две системы находятся в равновесии по отношению к обмену
энергией, когда относительный спиновый избыток системы / равен
относительному спиновому избытку системы 2. Мы увидим далее, что почти
для
44
ГЛ. 4. ДВЕ СИСТЕМЫ В ТЕПЛОВОМ КОНТАКТЕ
всех допустимых состояний удовлетворяется, либо почти удовлетворяется
соотношение (10).
Если в максимуме рассматриваемого произведения /п, и т2 равны
соответственно fh-L и /й2, то (10) запишется в виде
thi/Ni = m2/N2 = m/N. (11)
Для нахождения максимума произведения gig2 нужно просто подставить (11) в
(6); тогда получим
(gi^Wc = gi (mi) g2 (т - ihi) = gi (0) g2 (0) exp (- 2m2/N). (12)
Какова острота максимума gig2 при данном значении т? Положим
/"i = /fti + 6; т2 - т2 - 8. (13)
Здесь б служит мерой отклонения mi, т2 от их значений /й,, rh2,
соответ-
ствующих максимуму gig2.
Возводя равенства (13) в квадрат, имеем
т\ = т\-\- 2т,б + б"; т\ = т\ - 2/й26 + б2.
Подставляя найденные соотношения в (6) и используя (12), получим для
числа состояний:
^ ^ , ( 4/й,б 262 4/й2б 262 ^
g 1 (Ni, mi) g2 (N2, m2) = (gig2)макс exp ) .
Согласно равенству (11) /fri/JV, = m2/N2 и, следовательно, число
состояний в конфигурации, характеризующейся отклонением 6, равно
/ 2б2 2б2 \
gi (Ni, thi + б) g2 (N2, m2 - 6) = (?,?2)макс exp---------------------J.
(14)
Для численной оценки положим Nt = N2 = 1022 и 6 = 1012, т. e.
относительное отклонение 8/N2 - 10~10. Для такого незначительного
относительного отклонения от равновесия имеем 26W, = 200, и произведение
g\g2 составляет долю, равную e-400 ~ 10~173 от его максимального
значения. Действительно, уменьшение оказывается очень сильным, и
следовательно, gig2 должно быть функцией от mi с очень и очень острым
пиком.
При тепловом контакте двух систем наиболее часто возникающие значения mi
и т2 очень близки к значениям rh\, т2, для которых произведение gig2
максимально. Лишь в исключительно редких случаях мы сможем обнаружить
системы со значениями mi и т2, сильно отличающимися от fhi и т2.
Каков реальный смысл утверждения, что вероятность нахождения системы с
относительным отклонением бINi = 10~10 в 10ш меньше вероятности найти
систему с отклонением б/ЛГ1=0? Реально это означает, что система никогда
не будет обнаружена в состоянии с отклонением 10-10, каким бы ничтожно
малым такое отклонение не казалось. Предположим, что под действием
какого-либо взаимодействия каждый спин меняет свою ориентацию каждые 10-
12 с *). Полное число спинов равно 1022, и следо-
*) Это вполне разумная величина для времени релаксации одного спина, так
как времена одночастичной релаксации при комнатных температурах для
твердых тел и жидкостей часто имеют такой порядок величины.
ОБМЕН ЭНЕРГИЕЙ И ВЕРОЯТНАЯ КОНФИГУРАЦИЯ
45
вательно, система переходит из одного квантового состояния в другое 1012
-1023 == 1034 раз в секунду. Тогда, если подождать
(КГ34 с) • 10173= 10ш с,
можно рассчитывать на то, что удастся увидеть систему с 8/Ni = = 10-10.
Но возраст Вселенной равен всего лишь 1018 с. Таким образом, мы с
величайшей уверенностью можем сказать, что такое событие никогда не будет
наблюдаться *). Хотя наша оценка была грубой, полученный вывод правилен
**).
Естественно ожидать, что в случае небольшой системы мы сможем наблюдать
заметные относительные отклонения ее свойств. При рассмотрении малой
системы, находящейся в тепловом контакте с большой системой,
теоретические трудности не возникают. Мы увидим, например, что
температура небольшой системы определяется так же, как для системы, с
которой она находится в контакте. Энергия маленькой системы может
испытывать значительные относительные флуктуации, которые можно наблюдать
в опытах с броуновским движением малых частиц, взвешенных в суспензии,
или с самопроизвольными отклонениями зеркальца гальванометра. Но среднюю
энергию небольшой системы всегда можно точно определить путем наблюдения
в течение длительного промежутка времени или посредством наблюдений за
большим числом одинаковых маленьких систем.
Полученный результат для числа допустимых состояний двух модельных
систем, находящихся в тепловом контакте (см. (5)), можно обобщить на
случай двух произвольных систем. Применяя те же рассуждения, что и ранее,
находим для степени вырождения g(N,'U) объединенной системы следующее
