Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
результатам, но более коротким путем, приводит использование
псевдопотенциала. Если с самого начала заменить истинный потенциал V
псевдопотенциалом, то полученные здесь результаты содержатся в собственно
энергетической части второго порядка. Мы специально остановились на
метод-.ке, основанной на суммировании диаграмм теории возмущений, чтобы
проиллюстрировать один из эффективных методов полевой теории.
§ 27. ТЕОРИЯ СЖАТЫХ СИСТЕМ МНОГИХ ЧАСТИЦ
27. 1. Переходим к количественному описанию сжатых систем многих частиц,
для которых выполнено условие малости среднего расстояния между частицами
d по сравнению с эффективным радиусом действия сил R _________ 11 = Wd >
1.
* Имеется лишь некоторое отличие в численных коэффициентах, связанное с
разными значениями фактора вырождения g.
258
Системы с кулоновским взаимодействием относятся к разряду сжатых при
выполнении условия
где а0 - боровский радиус частиц.
Будем считать, что величина параметра взаимодействия
может иметь при этом и большую величину. Для систем с кулоновским
взаимодействием большая величина т] приводит одновременно к малой
величине параметра взаимодействия. Основное уравнение теории сжатых
систем, выведенное по результатам § 16 и 25, имеет вид
у (1, 2) = К (1, 2) - i J d3 d4V (1, 3) G0 (3, 4) G0 (4, 3) у (4, 2).
(27. 1)
27. 2. Переходим к решению уравнения (27. 1), определяющего эффективный
потенциал взаимодействия между частицами. Пусть для простоты потенциал
является функцией только координат. Ограничиваясь рассмотрением
однородных систем, переведем уравнение (27. 1) в импульсное представление
(g- фактор вырождения, появляющийся при суммировании по дискретным
переменным).
В явной форме можно написать
Вычисление входящего сюда интеграла по правилам, изложенным в приложении
В, дает
где со - четвертая компонента вектора k. Явная зависимость эффективного
потенциала у от этой величины приводит к появлению эффектов запаздывания,
обусловленных корреляцией между частицами.
a<Jd > 1,
удовлетворяет условию
а ~ MV0d2 г|-1 ]> а ]> т]_3.
Борновский параметр
а' - MV 0R2 ~ ат]2
у (/г) = v (k) [ 1 - ig J dipG0 (p + k) G0 (p) у (k)]
y(k) = v{k) [l + ig$dipG0{p+-k)G0(p)v (*)] \ (27.2)
П {k) == - ig j d4pG0 (p -f k) G0 (p) - g § dsp X
(1 -np)
- Ш + 8-> - 8_>
p + fc p
- t'6 Ш + 8^. - 8_> - t'6 | '
p p + k
259
Делая во втором интеграле формулы замену р -> р - k и затем
р -> -р, приходим к окончательной формуле для величины П (k), носящей
название поляризационного оператора:
П (k) = g Г d3p ti-> -+ (1 - п-*) X
J Р+6 \ Р 1
Х ( 8^" - ш - г'б + + со + ifi ) • (27- 3>
\ p+k р р+k р 1
Явное вычисление этого выражения можно провести, учитывая, что
эффективная величина k мала по сравнению с р0. Кроме того, можно считать
закон дисперсии квадратичным, поскольку обменные эффекты приближения
Хартри - Фока играют малую роль. Условие k Ро приводит к узости
эффективной области
интегрирования в выражении (27. 3). Полагая, что р = р0 (1 + а),
/ -> ->\2
где а > 0, и учитывая условие \р + kj < р2, найдем
а < - - и л:<(0,
Ро
где х - косинус угла между векторами, р и k. Интеграл (27. 3) принимает
тогда вид
П (А) = --^-/(?*), (27.4)
где
В явной форме
Де8) = 1------г In ^ - in|S| 0(1 - | ?|). (27.6)
Эта функция падает от 1 до -оо при изменении ?2 от 0 до 1 и
растет
при ?2 > 1, имея при ?2 -> со асимптотику f (?2) "=* -1/(3?2).
Мнимая часть / (?2) отлична от нуля лишь при ?2 < 1.
Предельные значения поляризационного оператора следующие: при ? -> О
П(й) = -^^; (27.7)
при ? -> со
(27.8)
P0k О
1+S
где q - плотность числа частиц системы.
260
27. 3. Существенной особенностью выражения для у (k)
v ( /г)
У (к) =----------т^г (27. 9)
1 - П (k) v (к) К '
является возможность обращения его знаменателя в нуль при
-^
действительных значениях со и k. Это обстоятельство отражает факт
возникновения новой (коллективной) ветви возбуждений (соответствующие
вопросы будут рассмотрены в § 28).
Здесь необходимо обратить внимание на то, что полюс у (k) является
формальным препятствием на пути извлечения дальнейшей информации из
теории. В самом деле, получение выражений, например, для массового
оператора или для энергии пред-
полагает проведение интегрирования по со и k величин, включающих в себя у
(к). Поэтому необходимо иметь дополнительные сведения о правилах обхода
возникающего полюса. Такие сведения даются спектральным представлением.
Прежде чем переходить к рассмотрению этого, вопроса, необходимо
исследовать, при каких условиях и где возникает полюс.
Исходя из соотношения 1 = П (k) v (&), где v действительно, нетрудно
видеть, что реальные корни этого уравнения имеются только при условии
действительности П (k). Это в свою очередь .требует, чтобы
? = Мм/р06>1. (27.10)
Обозначая через со0 (k) полюс выражения (27. 9) (он лежит в симметричных
точках ±со0 (k), имеем следующее так называемое дисперсионное уравнение:
1 = -JS^v№/(?o). (27.11)
где Со = Majp^k. Поскольку в области (27. 10) функция / (С2)
