Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
v ( k - q ) N (q)
. ?-"*<*> (26-7)
p
2~
Из уравнения (26. 7) видно, во-первых, что предположение о независимости
А от четвертых компонент векторов k, k' не привело ни к каким
противоречиям. Физически это означает, что учет корреляции между
частицами разреженной системы не приводит к появлению запаздывания их
эффективного взаимодействия. Во-вторых, отчетливо видна зависимость
эффективного взаимодействия А от суммарного импульса пары. Это
свидетельствует о нарушении в рассматриваемых условиях принципа
относительности Галилея. Однако этот принцип и не должен соблюдаться,
поскольку частицы взаимодействуют в среде и поскольку существует
привилегированная система отсчета, в которой среда покоится как целое.
Заметим далее, что мы не выписывали явно дискретных индексов, полагая,
что функция Грина G0 и v пропорциональны fi0iQj.
Последнее замечание касается свойств симметрии А [р, к, /г'). Из условия
антисимметрии А (рг; р2; р3; р4) относительно перестановки рх, р2, а
также р3, р4 следует антисимметрия А (р, k, fe'j
-> -*¦ ->
относительно замены к -k и к' -к'. Будем искать решение уравнения (26. 7)
в виде
А
(р, k,k') = ±[u (Р, к, У) - U[P, \-к')\ (26. 8)
Тогда для U получается уравнение
Как легко проверить итерациями, решение этого уравнения обладает
свойством /
и(р, -к, к') = и {уХ-*)¦
Поэтому выражение (26. 8) дает-величину, обладающую всеми требуемыми
свойствами симметрии.
26. 3. Прямое решение уравнения (26. 9) представляет собой чрезвычайно
сложную задачу. Это уравнение описывает рассеяние пары частиц друг на
друге в среде, т. е. при учете принципа Паули. В случае разреженной
системы эффекты среды играют сравнительно малую роль, поэтому
представляется возможным выразить величину U (а вместе с ней и
эффективный потенциал А) через характеристики рассеяния пары
изолированных частиц. Во многих случаях именно эти характеристики
(например, фазы рассеяния) непосредственно известны из эксперимента, а
потенциал взаимодействия представляет собой производную величину; тогда
рассматриваемый путь имеет непосредственную физическую ценность.
Для простоты ограничимся случаем квадратичного закона дисперсии частиц
(общий случай удобнее рассматривать в рамках теории псевдопотенциала).
Изменение закона дисперсии за счет самосогласованного короткодействующего
взаимодействия незначительно при выполнении условия (26. 2). Поэтому,
имея в виду проведение расчетов с точностью до (а//?)2 включительно, мы
можем считать закон дисперсии квадратичным (см. раздел 26. 5).
Рассмотрим уравнение Шредингера, описывающее рассеяние пары частиц в
пустоте. Полученные результаты являются обобщением результатов § 1.
Исходное уравнение имеет вид
(А + /е2)Ц^ (Л = MV[r)y+(r),
k V ' ' 7 k ' '
а в импульсном пространстве -
(рг - /г2) (р) -= - М j d*qv (р - q) (?) .
Его решение можно выразить в следующем виде (см. приложение В):
(р) = (2я)" &(}-%)- р1_р~_гй f (р ~ я) % {я}-
k ^
где первый член описывает падающую волну, второй - расходящуюся.
Величина
а Гр, к) ~ jdaqv(p - (?) (26. 10)
может быть названа амплитудой рассеяния. Точнее говоря, она является
обобщением обычного определения амплитуды рассеяния
253
на случай, когда нас интересует не только асимптотика волновой функции на
больших расстояниях, но и вся функция (г .
k х '
Чтобы в этом убедиться, переведем уравнение
Чд (р) = (2л)3б(р - k) + р1_У_-7а-а(р, k) (26. 11)
в координатное представление. При этом получается выражение [г] = ехр
i^ik г j + а (- t'V, fej ехр (ikr)/r.
-^
Асимптотически при больших г можно заменить -/V на kti
->
где п - единичный вектор г, и мы действительно вернемся к обычному
определению амплитуды рассеяния.
Нашей последующей задачей будет полное исключение из полученных уравнений
потенциала взаимодействия v, который может вообще не существовать
("твердая сердцевина"), и замена его амплитудой рассеяния а.
Рассмотрим с этой целью равенство (26. 10). Умножая его
на г|Д (/?'), интегрируя по k и учитывая условие полноты
j ^ф^р')г|и (р) = (2л)36 (р - , найдем
v (р - Р') = - ir f d*ka (р, *) (^')-
Подставляя сюда выражение (26. 11), находим окончательное соотношение
между амплитудой рассеяния и потенциалом
. (26.12)
Удобно избавиться от входящих в правую часть этого уравнения мнимых
величин. Для этого сделаем замену
а {},%)--/ <*?> • (26ЛЗ)
v 1 +1kl (k, k)
Величина l является обобщением длины рассеяния (см. § 1 и 16) и
представляет собой действительную функцию. Ограничимся
наиболее важным случаем s-рассеяния, когда величина I [р, k) не зависит
от углов.
254
Подстановка выражения (26. 13) в (26. 12) приводит к следующему
уравнению:
При выполнении условия (26. 2) lid " 1.
Ограничиваясь в полученном уравнении членами второго порядка по /,
находим окончательно
26. 4. Уравнение (26. 14) позволяет исключить из всех выкладок истинный
потенциал взаимодействия v и заменить его длиной рассеяния /.
Подставим уравнение (26. 14) в (26. 9), взяв е (р) = р2/2М. Ограничиваясь
