Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
где а' - параметр борновского разложения. Таким образом, вклад
интересующих нас диаграмм имеет вид
р~а2С"(а')п, (16.16)
4=1
где С" - некоторые численные коэффициенты. Что же касается вклада
отброшенных диаграмм, то он оказывается в каждом порядке теории
возмущений в ц-1 раз меньше.
Остановимся на физической интерпретации полученных результатов. Из рис.
26 видно, что фактически следует учитывать корреляцию переменных лишь
каждой из пар частиц, поскольку все линии взаимодействия связывают линии
только двух частиц. В таких случаях говорят о парной корреляции частиц.
Это обстоятельство имеет совершенно ясный физический смысл. Дело в том,
что из-за малости параметра ц одновременное попадание трех и более частиц
в сферу действия сил (а это является необходимым условием появления
тройных и более сложных корреляций) маловероятно.
16. 6. Наиболее важную роль в сжатых системах играют диаграммы типа,
изображенной на рис. 25, г. Аналогично из числа диаграмм высшего порядка
наибольший вклад дают диаграммы, изображенные на рис. 28. Общей чертой
этих диаграмм является наличие максимального числа замкнутых петель,
благодаря чему все передаваемые импульсы оказываются равными друг другу.
Выделенный характер этих диаграмм объясняется тем, что в сжатых системах
передаваемый импульс k мал по сравнению е граничным импульсом р0. Фурье-
образ потенциала v (k) падает
151
с увеличением k, причем это падение имеет характер v (k) ~ k~2 при k > MR
и, в частности, при k - р0 (см. раздел 16. 4). Таким образом, наибольший
вклад дают диаграммы с наименьшим значением импульса передачи. Таким
свойством и обладают диаграммы рис. 28, у которых все импульсы передачи
одинаковы и равны к. В то же время диаграмма, скажем, рис. 25, б имеет
один из импульсов передачи (средний) порядка р0 > k.
Проведем количественное сравнение вклада диаграмм рис. 28'. При переходе
от л-й к (л + 1)-й диаграмме добавляется дополнительное звено,
изображенное на рис. 29. Соответствующее ему выражение после интеграции
по энергиям принимает вид
Q2~M \ d*p\d*p'2--------------------^^х
~М
v\p 1 - Р'2 I П ' (1 - п Л
. v 2' Pi [ р2)
р\ + Р2 -Р?. - Р\
X б (а + р'2 - Ра - р[). (16.17)
Pi
1 I
Вводя переменную k - р\ - Р2 ~ Pi -Рг и проводя оценки, аналогичные
выполненным в разделе 16. 4, с учетом k < р0
получим
Q2 ~ Mp0v (k).
Сумма диаграмм рассматриваемого типа дает, таким образом, следующий вклад
Ро
Л_ Р ~ ~^Г J dkk31 v (*) I2 f lMPoV Ш,
DP ^
у I (i6. is)
fc-f oo
Рис. 29 где / M = 2 СпхП'' C" " некоторые
п-О
коэффициенты; явное выражение f (х) будет приведено в гл. IV. Забегая
вперед, заметим, что при х -v со / (дг) -> л;-1, гри х -" 0 / (х) const.
Введем величину /г,,, определяемую равенством
М2РоИ6о)Г~1- (16.19),
Здесь нужно различать несколько случаев. Функция |v(&)|2
в общем падает с увеличением k. Поэтому если М2р21 v (j J2 1,
то равенство (16. 19) вообще не может быть выполнено, и рассматриваемое
неравенство остается справедливым всегда. При этом сумма в выражении для
/ (х) фактически сводится к своему первому члену. Таким образом, при
(ХЦ8 < 1
152
достаточно учесть лишь первую корреляционную поправку, что приведет к
результатам раздела 16. 4.
Второй, наиболее важный случай, соответствует тому, что определяемая
выражением (16. 19) величина k0 заключена между 1/R и р0. Учитывая
соотношение v2 (k) - V2R2/А4, имеем
k0 ~ (MV0p0RYu ~ (ccri)1/' Ро- (16. 20)
Условие MR < <С Ро принимает вид
аг]8 > 1, ац < 1.
Оценим величину р для этого случая, учитывая, что в области 0 < k < 1/7?
v (k) - Р0Я3, Mp0v ~ ест]8 > 1, / ~ 1/(ост)3); в области l/R<Ck<Ck0 v (k)
- V0R/k2, Mp0v - k2Jk2, f-k2/k2; в области &0<&<Po Mp0v ~ k2Jk2, f- 1.
Вклад в интеграл (16. 18) первой области составляет ~а/т), второй ~а2г]2
и третьей -а2,п2 In (аг)). Наиболее важен, очевидно, вклад области k0 <Z
< k < Ро, который равен
Р - a2r]2 In (ац). (16. 21)
Эта величина мала по сравнению с единицей.
В принципе возможен также случай
ko > Ро. ат1 > 1* (16- 22)
Однако все приведенные выше соображения, основанные на малости
эффективного значения k по сравнению с р", теряют в этом случае свою
силу. В частности, подлежат учету все диаграммы теории возмущений.
Физически это означает (см. § 27), что экранированный за счет
корреляционных взаимодействий потенциал V перестал быть дальнодействующим
(по сравнению с расстоянием между частицами d). Другими словами,
рассматриваемая система при выполнении неравенства (16. 22) по существу
не относится к разряду сжатых систем.
16. 7. Рассмотрим кулоновские сжатые системы. Для них при всех
значениях k v (k)-e2/k2 и Mp0v - p0/(a0k2). Разбивая интеграл (16. 18) на
две области k < k0 и k > k0, где согласно выражению (16. 19)
ko~{Poiao)'n, (16.23)
имеем в первой области Mp0v - k2Jk2 > 1, / - k2/k2 и
Pi ~ (а0Ро)~2 ~ а2-
Мы. видим, что расходимость при малых k действительно устраняется.
Во второй области Mp0v <1 и / - 1, откуда
Р2 - a2 In {pjk0).
Таким образом, основной вклад дает область k0 <С k <С р0 и
