Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
выполнить условие (15. 17), чтобы систему можно было бы рассматривать как
квазиоднородную. Дело в том, что величины, описывающие корреляционные
эффекты, обязательно содержат помимо d еще одну характерную величину
размерности длины - радиус действия сил R.
Поэтому система может считаться квазиоднородной только в том случае, если
наряду с условием (15. 17) выполнено также условие
Я/*0"1. (15.18)
В разреженной системе, где 7? d, условие (15. 18) оказывается излишним.
Однако в сжатой системе, где R > d, определяющим является условие (15.
18), невыполнение которого влечет за собой
140
появление в соответствующих выражениях сложной нелокальной зависимости от
координат.
Характерным примером является тяжелый несжатый атом, для которого условие
(15. 17) выполнено (? ~ Z-1^). Однако условие (15. 18) оказывается
нарушенным, поскольку R ~ (aJPo)'/2 - ~ айЪ~~'и и х0 a0Z-'/>.
Это существенно осложняет исследование корреляционных эффектов в
неоднородных системах.
15. 6. Естественный путь построения элементов S-матрицы
слабонеоднородной системы, для которой выполнены оба условия (15. 17),
(15. 18), состоит в написании соответствующих величин в координатном
представлении и использовании приближенных выражений для функции Грина
(10. 11).
Однако теперь нас интересует корреляционная поправка к энергии низшего
порядка, поэтому мы изберем более общий путь, который даст возможность
проиллюстрировать утверждения предыдущего раздела. При этом будет
использовано уже готовое выражение для Е - Е0 в энергетическом
представлении (15. 16), которое мы перепишем в виде
Е - ЕГ1- \dql dq2 dq3 dqy V (qL, q2) V (q3, qj X
Д.И5.Д* Мз
X Хмх (<7l) Хд3 Ш Хд4 Ш (1 - Хд, Ш X*, Ы-
Здесь мы явно раскрыли выражения для матричных элементов
-> ->•
и считаем для простоты потенциал V функцией только хг - х2.
Удобно представить энергетический знаменатель в виде (см. приложение В) *
Р (вД1 + ед2 - еДа - Бд4)-1 = ^ J dt sign (t) ехр [it (ед, +
00
+ ед2 еДа eBi)l-
При этом нам придется иметь дело с величинами типа
a (qlt q2, 0 = 2 Хд Ш Хд (Яг) "д ехр (i/ej,
д
О' (<7i, я". О = 2 Хд (Яг) Хд Ш (1 " Лд) ехр (- йем), д
через которые искомая величина выражается следующим образом:
оо
Е Е° = 4т I dt si§n w f dcE dqz dq3 dqi v (qlt q2) V (qb q,) X 00
x o'(<7s, <7i. i)o'(qv qt, t) (1 - cfMl) a (qlt q3> t)a(q2, qt, t). (15.
19)
* Ввиду наличия в выражении для Е - ?0 факторов я, (1 - л^г) и т. д.
соответствующий знаменатель не обращается в нуль и потому его можно
рассматривать в смысле главного значения.
141
Используем далее прием, состоящий в переходе к явной операторной
формулировке задачи [811. С этой целью заменим величины ец,
соответственно на
Величины о и а' можно тогда представить в следующем операторном виде:
°(<7i- <7г* t) '-= 0 [<^ - {Т + W)qi\ exp [it (T + W)qi)b{ql-q2), o' (qly
q2, 0 = 9 [{T + W)qt - еД exp [- it (T 4- W)4l] 6 {qx - q2).
Пренебрегая некоммутацией операторов T и W и обменными эффектами, находим
Такое представление отвечает, очевидно, выбору функций Грина в виде
выражений (10. И), (10. 12)
При подстановке полученных выражений в соотношение (15. 19)
появляется функция р2 от двух разных аргументов хг и хг. Расстояние межДу
точками хх и х2 не превышает радиуса действия сил R, о чем
свидетельствует наличие множителя V (qx, q2) *. Поэтому выполнение
условия (15. 18) дает возможность пренебречь в р2 различием в величине
этих аргументов. Выполняя далее несложное, но громоздкое интегрирование,
приходим к соотношению
Полученное выражение действительно имеет квазиоднородный характер. Для
перехода к чисто однородному случаю достаточно
* В случае кулоновской системы необходимо учитывать также диаграммы
высшего порядка, что приводит к дебаевскому экранированию (см. § 16).
T+W, 6[Ef-(7'+lV)j.
о (<7i> <7г, 0 = j d'pQ [р2 (х.) - р2\ X
/ Р2 Ро (Лт) \ -* \ с
х ехр <71 ш Ър I + tp[X!- x2J 6,
О' (<?i- <7г> t) = j d3pQ [p2 - p\ (лу)] X
(15. 20)
(e,e*)-
142
заменить р2 (х) на р2 и J dx на Q [при этом можно использовать выражение
(15. 21) и в случае произвольного закона дисперсии e->.j.
Р ^p/^p^knn /1 -
Е ?0 = - 2MQ (2пГ Г L х
J \Pi + к) + (рг-к) ¦-Р[ - р2
X jg2| v (fe) f - gv* [k] v(p2 - р,- Щ. (15.22)
15. 7. Невыполнение условия (15. 18) приводит к появлению в выражении
(15. 21) двух граничных импульсов р\ (ft), pi (х2), благодаря чему это
выражение теряет свой локальный характер.
Однако более существенным является вопрос о справедливости самих
квазиклассических выражений типа (10. 11), (15.20) при невыполнении
условия (15. 18). Дело сводится к выяснению роли квантовых эффектов в
соответствующих выражениях.
Используем операторные выражения для функций о ист', приведенные в
предыдущем разделе. Разлагая S-функции в интеграл Фурье, для
характерной комбинации, входящей в соотношение (15. 19) *, можно
написать следующее выражение:
о (<7i, qa, t) о' (<7", ft, t) = б01бз j tPpjdtpt exp [i (ft - ft) X
X (*i~ *з)] ( 0(ef- T- IV) exp [it (У + IV)] )Pl X
