Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
X ( 0 (У 4- IV - eF) exp [- it (У + IV)] )Pt (15. 23)
(обозначение ( . . . )p введено в § 4).
Пренебрежем для простоты обменными эффектами, не меняющими качественно
ситуации; это позволяет заменить У -f IV
Рг - Ро (х)
на ------4------Ь eF- Разложение функций 0 по коммутаторам
операторов р2 и р2 (х) излишним образом усложнило бы последующее
рассмотрение, не изменив качественно общего вывода. Поэтому для упрощения
выкладок заменим функции 0 их квази-
классическими выражениями и пренебрежем разностью х1 - х3 в их аргументах
(см. § 10). Это даст
= se,e" 1 <*8М8Л ехр [i (ft - ft) (ft - ft)] X
X 0 [pi (Xj) - pf\ 0 [p\ - pi (ft) E,
где
E = < exP {w \p2 ~ Pi M} >?, <1exP {-Ш [p2 ~ j
/Pi
* Второй член в квадратной скобке (15. 19), отвечающий обменным
корреляционным эффектам, вносит для сжатых систем малый вклад.
143
Проводя разложение экспонент в ряд по коммутаторам (см. приложение Б) и
ограничиваясь членами первого порядка, найдем
Е = ехР {Ш 1-р' ~ + р2° ~р2°) х
х f1 " W [Д/,о + 21 (л + л) v?o] + •••}•
В ряд ПО Vp2;
X 0 [pi {Ху) - pi j 0 [pi - pi (ду)] exp
X
Разлагая показатель последней экспоненты в ряд по хх ¦- х3
и делая замену р2 р2 - tVp2J2M, получим после разложения 2.
оо' •¦= fy".o. j d3p, d3p2exp [t (ру - р2) - х3)\ х
it (pj - р2)
2Л4
Х j1 -W [ДРо + 2t' Pi - л) Vp02J +•••).
Оценим вклад второго (квантового) члена в фигурной скобке.
-> -> I -> -> I
Разность ру - р2 по порядку величины равна \Ху - xi\~1 - 1//?; сами
величиныр1г р2 порядка р0 > 1/R. Поэтому р\ - р\ - pJR, а величина t - ,
, М Отсюда с учетом A р2- fPJxl,
I р\ - рЦ~Ро и и и.
Vp2 Pq/^o> получим
t2Apl pa t2 (ру -р2) Vp^ Р ~Л4 !"¦
Таким образом, вклад квантовых эффектов определяется членами, имеющими
порядок (R/x0)2 и R/x0 соответственно. Тем самым мы приходим к выводу о
том, что использование квазиклассически х функций Грина (10. 11), (10.
12) возможно лишь при выполнении условий (15. 17) и (15. 18). При этом
система обладает свойством квазиоднородности, что позволяет рассматривать
ее как
однородную с последующей заменой Q/ (р) на j dxf [q (х)].
Физически эту ситуацию можно интерпретировать следующим образом. В сжатых
системах основную роль играет область импульсного пространства,
непосредственно прилегающая к границе Ферми: эффективная ширина этой
области р\ - р\ {р\ > р\ > pi) составляет по порядку величины p<JR -
dpl/R. Однако именно вблизи границы Ферми возрастает роль неоднородности
системы [50]. Формально это связано с тем, что вклад неоднород^ ности
определяется отношением среднего значения коммутаторов типа [р2, p2J -
Др? к соответствующей степени величины р2 - p\t в данном случае (р2 -
р2)2. Ясно, что это отношение вблизи 144
границы Ферми велико даже при малых ?. Таким образом, в сжатых системах
роль неоднородности существеннее, чем в разреженных.
Резюмируя, можно сказать, что при рассмотрении корреляционных эффектов в
слабонеоднородных сжатых системах выполнение обычного условия
квазиклассичности (15. 17) не упрощает существенным образом задачи.
Помимо возникающей при этом нелокальное(tm) выражений интегрального типа (в
частности, энергии) появляется необходимость учитывать квантовые эффекты
*. Задача упрощается лишь при выполнении условия (15. 18).
§ 16. ОТБОР ГЛАВНЫХ ДИАГРАММ
16. 1. Как уже неоднократно подчеркивалось, точное решение задачи многих
частиц в подавляющем большинстве случаев оказывается невозможным. Поэтому
успех применения теории многих частиц к описанию какого-либо объекта в
значительной мере зависит от возможности выявления свойственных задаче
малых параметров и их использования в целях ее упрощения.
Именно с этой точки зрения оказываются удобными полевые методы,
позволяющие наиболее коротким и простым путем перейти от написания
гамильтониана, содержащего малые параметры, к окончательным физическим
результатам. И дело при этом не сводится просто к разложению в ряд теории
возмущений с оставлением членов низшего порядка. Нередко оказывается
необходимым учитывать некоторую бесконечную подсовокупность членов ряда
теории возмущений; именно в этой ситуации полевые методы наиболее удобны
и оправданы.
Таким образом, перед нами стоит задача: установить ту (конечную или
бесконечную) совокупность диаграмм, которые с учетом малости
соответствующих параметров играют наиболее важную роль.
Речь должна идти о безразмерных параметрах, составленных из величин,
характеризующих систему частиц. К их числу прежде всего относятся
параметр взаимодействия а, равный по порядку величины отношению средней
энергии взаимодействия пары частиц к их кинетической энергии, и параметр
сжатости ц, определяемый отношением эффективного радиуса действия сил к
среднему расстоянию между частицами. Кроме того, в некоторых случаях надо
учитывать эффективное число частиц, параметры, характеризующие внешние
поля, относительную концентрацию частиц (для системы частиц разных
сортов) и т. д.
* В работе [81], где был сделан этот вывод, количественное рассмотрение
