Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
где
1 д ( N >
(ДУ)2 = -
др
среднеквадратичная флуктуация числа частиц в системе. Эта величина
пропорциональна полному числу частиц, откуда следует, что с увеличением
последнего относительная флуктуация У падает.
286
д < Е )
р д ( Е )
Р Ф
(Е - < Е ) )2
Аналогичным образом можно рассмотреть и флуктуацию полной энергии
системы. Для этого используем соотношение (29. 12), учитывая, что
g exp (- iqH) = exp Jp [рЯ - (1 + я]
Отсюда
(Н)Е = Е -> р + iq, [х
При малых q
(H)E=(E)-iq Таким образом,
W(E) = [2я(Д?)2]"'л ехр где
/-т-р\2 jj, д < Е) д < Е )
^ ' - р • ^ 'ар
В этом и предыдущем расчетах дифференцирование совершается при постоянных
значениях остальных аргументов.
29. 3. Рассмотрим одночастичную функцию Грина в квантовой статистике.
Эта величина по-прежнему определяется как среднее значение хронологически
упорядоченного произведения операторов, однако усреднение теперь следует
производить не по основному состоянию системы, а по статистическому
ансамблю:
2 (Д?)2
(29. 15)
6(1,2) = - i
. sP {е [т (ч>г(1)ч>+ (2))])
sp (Б)
(29. 16)
Операторы поля берутся в гейзенберговском представлении.
Как и в случае нулевой температуры, для функции Грина можно получить
спектральное представление [125]. С этой целью перепишем соотношение (29.
16) в виде
6(1, 2) = - i 2 exp [0(Q -pJV" -?л)]х
Я
Х(?л|Г [фг(1)ф+(2)] \Уп)
и введем полную промежуточную систему функций Ym. При этом нам придется
иметь дело с матричными элементами операторов поля типа (Y"|tj3r|Ym), (Ym
| ф+|Y"). Явно выделяя зависимость от времени и учитывая свойства
операторов фг и ф+, можно написать
(Yn|YI(l)|Ym) = (Y"|Y(<7l)|Ym)exp[-i(Am-An)/1],
СР" | ф+ (1) | Y"> = ( Ym | ф+ fa) | Yn) exp [i (Em - En) fj,
287
причем числа частиц в состояниях ?ш и ?", для которых получается отличное
от нуля значение матричного элемента, связаны соотношением Nm = Nn + 1.
При tx > 12
G (1, 2) = - t'2 ехр [Р (Q -|- рУл-?л)] ехр [-i (?ш - Еп) {tx - ^)] х
п, т
X ( ?" | ф (</х) | r|>J ( Wm | ф+ (ft) | ?") ;
При tx < 12
G (1, 2) = 12 exp [P (Q 4- Р^л - En)\ exp [i (Em-En) (tx - t2)\ x
я, m
X (?J Ф Ы| ?")(?"| У (ft)|?m>.
В последнем соотношении удобно заменить индексы п т. С учетом связи между
Nт и Nп это дает
G (1, 2) = t2 ехр [Р (Q -f- рУл - Еп)\ ехр [ - i {Ет - Еп) (tx - Q] X
/г, m
X <?п|ф+М|?т> X
х( 1 tx>t* (29.17)
{ - ехр [Р (Еп - Е,п -j- р)] < /2.
Переходя к фурье-образу по tx - t2 и заменяя суммирование по п, т
интеграцией по разности Ет - Еп = Е и суммированием по остальным
переменным, приходим к окончательной спектральной формуле:
оо
G (ft, ft, е) = j dEA (ft, ft, E) X
- со
1. . (29. 18)
E - ?4- гб Е~Ь~ (6 j 4 '
В случае пространственно-однородной системы имеем просто
со
G [р, е] = J dEa [р, е) х
•- со
х[ "- + -gLP[-Plg-^-l (29.19)
\ е- Е /6 1 г - Е~16 J v 7
где а (р, е) > 0.
Выделим из а (р, 7:) множитель {1 4- ехр [Р (р - Е)]}-1 и примем во
внимание тождество
Тогда выражение (29. 19) можно переписать в следующем виде:
Из этого соотношения очень наглядно видно, как происходит предельный
переход при Р -> со к случаю нулевой температуры.
Далее, соотношение (29. 20) позволяет дать простую физическую
интерпретацию функции Грина как функции совместного распространения
свободных частиц и дырок с различными энергиями Д. В отличие от случая Т
= 0 здесь соответствующие функции распространения имеют дополнительные
факторы
и = {1 -fexp[P(? - р.)]}-1, 1 - п= {1 + ехр [- Р (Д -
р)]}"\
которые представляют собой известные средние числа заполнения частиц и
дырок в распределении Ферми. Отличие этих чисел от нуля и единицы
является характерным свойством случая отличной от нуля температуры. Таким
образом, веса, с которыми представлены в функции Грина частицы и дырки,
определяются
не только динамикой системы (фактор а' (р, Д)], но и числами заполнения
свободных частиц и дырок с той же энергией Е.
29. 4. Разберем некоторые следствия спектральной формулы. Прежде всего,
установим соотношение между действительной и мнимой частями функции Грина
при действительных значениях энергии е.
Из соотношения (29. 19) нетрудно найти, что
Последнее соотношение показывает, что знак Im G(p, ej противоположен
знаку е - (х и что обе эти величины одновременно проходят через нуль.
Используя далее простую формулу
ihx_ ехр (х) + 1
2 ехр (лг) - 1 '
приходим к искомому соотношению [125]
G (р, е) == J dEa' (р, Д] х
Х \ (е - ? + г'6) {1 + ехр [ - р (? - р)] j
J
(29. 20)
ReGfp, е) = Р f il 4 exp [-P (Д-|х)]},
' 4s
Im G (p, e) = -яа (p, e) (1 - exp [-p (e - p.)]}.
ReG (p, e) = - ^P j cth Im G (p, д), (29. 21)
- oo
289
которое позволяет определить правила обхода особенностей в функции Грина.
Для этой цели оно применялось в теории сверхпроводимости [108].
При Т ф 0 функция Грина в комплексной области уже не обладает теми
аналитическими свойствами, которые присущи функции Грина в квантовой
механике (см. § 23). Это связано с невозможностью представления функции
Грина в виде интеграла типа Коши. Для иллюстрации представим G = Re G + +
