Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
^ ~ V '
для вывода которого необходимо считать величины IV и С не зависящими от р
и р.
* По этой же причине в квантовой механике нарушается ряд общих
соотношений типа дР/др = Q. -
295
Прямое вычисление термодинамического потенциала П0 приводит ц соотношению
*
а0 = - f dpSP(Q) + c, (зо.Ю)
- оо
для получения которого достаточно учесть равенство
м-
1п{1+ехр [Р(р -ev)]} = р J dp,nv.
ОО
Величину С =-------2~ Sp (/Vq) можно, как и в § 4, представить
в более простом виде, исключив из нее обменный оператор А [43].
30. 3. Аппарат теории слабонеоднородных систем можно упростить путем
перехода к квазиклассическому приближению. Как и в случае нулевой
температуры, все сводится к пренебрежению коммутаторами слагаемых
гамильтониана частицы Т + W.
Проанализируем вопрос о пределах применимости квазиклас-сического
приближения. В целом можно сказать, что отличие температуры от нуля
приводит к лучшей применимости квазиклассики. Дело в том, что в
"нагретой" среде кинетическая энергия и средний импульс частиц выше (при
прочих равных условиях), нежели в холодной. Соответственно меньшую
величину имеет длина волны де Бройля частицы.
Соответствующий параметр Е2 (см. § 5) имеет разные выражения в области
вырожденного газа (Ррг/з/уИ > 1) и в области высоких температур (Pq2А/Л4
Д 1), где осуществляется статистика Больцмана. В первом случае
справедливы приведенные в § 5 оценки
?2~q-v,, (30.11)
во втором [63] -
?2 ~ еР2. (30. 12)
Поэтому зависимость квантового параметра |2 от плотности в
противоположность зависимости от температуры немонотонна: при малой
плотности, отвечающей больцмановскому случаю, |2 растет с увеличением
плотности, достигая максимума на границе вырождения, а затем падает.
Примерный вид линий постоянной величины | в координатах (Т, q) показан на
рис. 66.
Относительная роль обменных эффектов для систем с кулонов-ским
взаимодействием определяется параметром
2MAjpl~e*Qipl (30. 13)
где по-прежнему **
__________ pi = 2М (р, - В - U). (30.14)
* Интегрирование производится при фиксированных W л С.
** В данном случае р\ не может интерпретироваться как квадрат граничного
импульса, а играет роль просто некоторой характерной величины
соответствующей размерности.
296
Указанный параметр во всей области изменения q и Т совпадает по порядку
величины с ?2. Поэтому и в случае отличной от нуля температуры применение
метода Томаса - Ферми-Дирака не может быть оправдано: квантовые и
обменные эффекты следует рассматривать на равных началах.
В пренебрежении обменными эффектами уравнение Хартри можно записать в
следующей операторной форме (Я = (3/2М):
/р, 3 = \{еХР И/>2-РоР))]+ '/ч
е Р) = в J d'pf Р- 3
(30. 15)
Рис. 66
Если параметр ?2 достаточно мал, то, пренебрегая некоммута-тивностью
операторов р2 и р2 (х), находим следующее выражение для функции
распределения:
/ р, р) = (ехр[Я(р2- рЦх))] + 1)-'. (30. 16)
Плотность, как функция р2, принимает вид
е = (2^я*/*)_1/./,М)- (30-17)
Здесь и ниже вводятся функции Ферми-Дирака [128]
ш
оо
J
у" dy
ехр (у - х) + 1 '
(30. 18)
удовлетворяющие соотношению
l'n = tilп-j '
(30. 19) 297
и имеющие асимптотику при х -> со
Ш = + ... (30. 20)
и при X -> --СО
1п(х)^Т(п+1)ех. (30.21)
Остановимся на вопросе о Том, как происходит предельный переход в
выражении (30. 17) при |3 оо и р -> 0. В первом случае р. гр, кр2 -> оо,
и мы немедленно с помощью соотношения (30. 20) возвращаемся к обычному
выражению для Q. Сложнее обстоит дело при р -> 0. В этом случае
химический потенциал (х оказывается сильно меняющейся функцией р.
Предположим, что при р -> 0 величина кр2 ~ Хр -> -со. Тогда соотношение
(30. 17)- принимает вид
e - AT'V'*1,
откуда видно, что при % -у 0 действительно Хр -> -со и, следовательно, р
-со. Поэтому в пределе высокой температуры
следует пользоваться асимптотикой (30. 21), приводящей к формуле
Больцмана для распределения плотности.
30. 4. Рассмотрим уравнение состояния сильно сжатого "горячего"
вещества, ограничиваясь областью, где распределение электронов можно
считать практически однородным (общий случай рассмотрен в работе [63],
которой мы здесь следуем). Распределение может считаться однородным либо
в случае высоких сжатий, либо при высокой температуре. Качественно
граница области однородности совпадает с кривыми рис. 66. В области
однородности вклад взаимодействия в уравнение состояния невелик. Из
результатов раздела 30. 2 следует, что в пренебрежении членом С
Р = I d\iQ.
оо
Используя выражения (30. 17) й (30. 19), получаем
Р = 6* = (6яMk4l)~lh/t {kpt}- (30. 22)
Это соотношение в совокупности с выражением (30. 17) дает параметрическое
представление зависимости Р (q, Т). При (5 со мы возвращаемся к
соотношениям § 6, при р 0 получаем обычное ^уравнение Клапейрона Р = QkT.
Оценка погрешности, связанной с неоднородностью распределения, приводит к
результату
б p^ezv*ev'>
где коэффициент 0 определен в § 6, Подчеркнем, что бР явно не зависит от
температуры.
