Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
же касается устойчивости (или динамического поведения системы), то она
практически еще не рассматривалась. Этот пробел можно восполнить,
используя разнообразные понятия теории устойчивости.
К сожалению, термин устойчивость в высшей степени многозначен в
литературе по системному анализу, будучи в постоянном употреблении для
обозначения чего угодно, начиная с классической устойчивости по Ляпунову
и кончая организационной жесткостью. Для всех возможных употреблений
этого термина единственным общим моментом является интуитивное понимание
того, что слово устойчивый обозначает, что нечто (может быть, система)
способно реагировать на изменения в окружающей среде (например,
возмущения, случайные помехи) и по-прежнему сохранять приблизительно то
же самое поведение на протяжении определенного (возможно, бесконечного)
периода времени. Совершенно ясно, что со столь нечетким и туманным
"определением" устойчивости всякие попытки математического анализа
устойчивости заведомо безнадежны. Тем не менее такое "определение"
создает некоторую интуитивную основу для более точных определений.
Для большей ясности изложения удобно ввести две категории понятия
устойчивости. Первую из них назовем классической и будем использовать ее
для обозначения задач исследования результатов внешних воздействий на
фиксированные системы, т. е. таких задач, когда изменяется только
окружающая среда, но не сама система. В качестве простого примера
подобной ситуации рассмотрим классический маятник (рис. 2.11).
Задача формулируется следующим образом: если сместить маятник из
положения равновесия (0 = 0) на некоторый угол, то может ли маятник вновь
вернуться в положение
Основные положения и перспективы развития теории систем 59
0 = 0 за достаточно долгое, возможно бесконечное, время? Как из
физических, так и из математических соображений очевидно, что так оно и
будет для всех возмущений 0 ф 180°. Таким образом, 0 = 0 является
положением устойчивого равновесия (по Ляпунову). Положение 0= 180° есть
положение неустойчивого равновесия, поскольку сколь угодно малое
отклонение от него в конце концов приведет систему в положение
устойчивого равновесия 0 = 0. Важно отметить, что величина начального
смещения не влияет на динамику системы. Таким образом, налицо
классическая ситуация, когда изменяется не структура системы, а лишь
внешняя среда.
Классическая теория устойчивости в основном изучает равновесные состояния
систем и динамику их поведения в малой окрестности этих состояний. Для
исследования таких задач были разработаны весьма совершенные методы (гл.
5).
Подобные классические представления Рис. 2.11. Матема-об устойчивости
оказываются весьма пло- тический маятник
дотворными в физических и технических приложениях. Что касается их
применения к анализу систем, изучаемых биологией, экономикой и
общественными
науками, то оно должно быть тщательно продумано и обосновано. Дело в том,
что обычный режим функционирования подобных систем, как правило, далек от
равновесного и, кроме того, внешние воздействия постоянно изменяют само
равновесное состояние. Короче говоря, постоянные времени таких систем
настолько велики, что во многих случаях ценность классического анализа
устойчивости практически незаметна.
В отличие от классического равновесного подхода, центральным элементом
современных взглядов на вопросы устойчивости является понятие структурной
устойчивости. Здесь основной задачей является выявление качественных
изменений в траектории движения при изменениях структуры самой системы.
Таким образом, здесь изучается поведение данной системы по отношению к
поведению всех "близких" к ней аналогичных систем. Если рассматриваемая
система ведет себя "почти так же", как и "соседние", то говорят, что она
структурно устойчива; в противном случае структурно неустойчива. Для
уточнения этого понятия необходимо четко определить, что такое "близкая"
система, каков класс допустимых возмущений и что значит схожесть
поведения. Тем не менее основная идея остается прозрачной, Достаточно
60 Основные положения и перспективы развития теории систем
малые изменения структурно устойчивой системы должны приводить к
соответственно малым изменениям в динамике ее поведения.
Пример. Простой гармонический осциллятор без трения
Динамика такой структурно-неустойчивой системы описывается уравнениями
х + С{Х 4- с2х = 0, х (0) = а, х (0) = 0.
Нас будет интересовать влияние параметров с\ и с2 на траекторию системы,
причем из физических соображений ограничимся только случаями с\ ^ 0, с2 >
0.
X
Рис. 2.12. Траектории осцил-х лятора без трения.
Рассматривая траекторию осциллятора на фазовой плоскости (х, х), легко
видеть, что если С\ - 0, то все траектории являются концентрическими
окружностями с радиусами aVc2 и центром в начале координат (рис. 2.12).
Если "ввести" в систему трение, то математически это означает, что сх >
0. Если с\ > 4с2, то точка равновесия х = х - 0 на плоскости (х, х) есть
