Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
планарным графом, в котором дуга между двумя вершинами указывает на
существование связи между соответствующими подсистемами. Тогда вместо
вышеприведенной системы уравнений получим адекватное описание системы
"черный ящик" в виде матрицы Е системных взаимосвязей, (?, /)-й элемент
которой равен 1, если подсистемы
i и j связаны, и равен 0 в противном случае. Отметим, что
внедиагональные элементы матрицы Е и здесь играют важную роль, хотя для
полного понимания связности структуры надо привлечь не только алгебру, но
и топологию.
Таким образом, уже предварительный анализ показывает, что связность
структуры системы - это сложное, многогранное понятие, требующее для
своего описания применения аппарата как алгебры, так и топологии. В
зависимости от способа описания системы проявляются те или иные свойства
связности. Наша задача - рассмотреть наиболее интересные проблемы
связности и попытаться дать ряд математических методов для их разрешения.
Так как связность является, по существу, алгебраическим понятием, данная
глава довольно насыщена математическими конструкциями и понятиями
абстрактной алгебры и топологии.
КОМПЛЕКСЫ И СВЯЗИ
Из соображений геометрической наглядности начнем изучение связности
структуры системы с рассмотрения комплексов. Согласно определению,
данному в гл. 1, симпли-циальный комплекс - это естественное
математическое обобщение понятия планарного графа, отражающее многомерную
природу рассматриваемого бинарного отношения. Поскольку симплициальный
комплекс, по существу, не что иное, как семейство симплексов, соединенных
посредством общих граней, то естественной харктеристикой связности могла
бы служить размерность грани, общей двум симплексам. Однако нас
интересует комплекс в целом, поэтому более целесообразно использовать
понятие цепь связи, отражающее тот факт, что два симплекса могут не иметь
общей грани, но могут быть связаны при помощи последовательности
промежуточных симплексов. С учетом соображения размерности понятие q-
связности может быть сформулировано следующим образом.
72
Связность структуры больших систем
Определение 3.1
Данные два симплекса стг и ст/ комплекса К соединены цепью 9-связи, если
существует последовательность симплексов в к, такая, что
Ста, - грань ah
Оап - грань Ст/,
ста< и ст0/+) обладают общей гранью размерности Р для г'= 1, 2, п- 1,
<7 = rnin {/, Pi, fe, •••, Рп> /}
(нижний индекс симплекса соответствует его геометрической размерности,
например dim as = s). Можно показать, что 9-связность порождает отношение
эквивалентности на симплексах К-
Таким образом, задача изучения глобальной структуры связности комплекса К
сводится к рассмотрению классов 9-эквивалентности. Для каждого значения
размерности
9 = 0, 1,-dim/( можно определить число различных классов
эквивалентности Qq. Назовем эту операцию q-анали-зом комплекса К, а
вектор Q = (Qdim/c, ..., Q,Qo)-первым структурным, вектором комплекса.
Информация, содержащаяся в Q, до некоторой степени отражает глобальную
структуру комплекса К¦ Для того чтобы два симплекса Л и В принадлежали
одной 9-связной компоненте комплекса К, необходимо наличие связывающей А
и В цепи промежуточных симплексов, такой, чтобы "слабейшее" в смысле
размерности звено имело размерность, большую или равную q.
Из определения 3.1 следует, что если два симплекса 9-связаны, то они
также q - 1, q - 2, ...-, 0-связаны в комплексе К. Следовательно,
комплекс К можно рассматривать как множество многомерных трубок
симплексов, а компоненты вектора Q - как число трубок каждой размерности
в К.
Иначе ^-связность можно представить так. Предположим, что мы обозреваем
комплекс через очки, которые дают возможность видеть его только в
размерности q и выше. Тогда мы увидим комплекс К разбитым на Qq
дизъюнктных (несвязных) кусков. Отметим, что число Q0 идентично
применяемому в топологии нульмерному числу Бетти, другие Qq, q^V не
совпадают с 9-мерными числами Бетти. Если К обозревается на всех уровнях
размерности, то Q0 дает число несвязных компонент К.
Связность структуры больших систем
73
Чтобы пояснить понятие комплекс, рассмотрим приведен* ный Р гл-. 1 пример
системы, описывающей сферу обслуживания условного города. Предположим,
что множество
.У = {хлеб, молоко, марки, обувь}
представляет интересующие нас товары, а множество
У = {гастроном, универмаг, банк, почта}
- предприятия сферы обслуживания. При этом возникает естественное
отношение А, с: Y X X, связывающее эти два множества:
(yi, Xj) е К тогда и только тогда, когда товар х/ можно получить на
предприятии у и Отсюда следует, что
^ = {(Уь *i), (уи х2), (у2, хА), (уА, х3)}.
Матрица инциденций Л отношения К имеет вид
Л х\ х2 х3 **
Уг 1 1 0 0
= Уз- 0 0 0 1
Уз 0 0 0 0
0 0 1 0
Геометрически комплекс может быть представлен следующим; образом:
Хз. *4
• • Л
н
где X - множество вершин, У - множество симплексов.
Заметим, что пустой симплекс у3 не принадлежит Кг(Х;К), если только не
принять соглашение пополнять комплекс, добавляя к К пустую вершину ф,
