Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 5.4.3. Пусть v — старший вектор веса X. Для р є Z+ положим Vp = (1 /p\)Ypv. Тогда
Hvp = (А - 2p)vp, Xvp = (А-р + 1) Vp-I1 Yvp = (p + l)vp+i.
Доказательство. Третье соотношение тривиально; первые два получаются из леммы 3.1. ?
Теперь мы приведем теорему, описывающую простые конечномерные {/-модули.
Теорема 5.4.4. (а) Пусть V — конечномерный U-модуль, порождаемый старшим вектором v веса А. Тогда
(i) А — целое число, равное dim(F) — 1.
(ii) Положив vp = (1 /p\)Ypv, будем иметь vv = 0 для р > X, и, кроме того, множество (г) = vq,v\,... ,г;д} является базисом пространства V.
(iii) Действие H на V диагонализуется и имеет (А + 1) различных собственных значений {А, А — 2,... , А — 2А = —А}.
(iv) Любой другой старший вектор в V коллинеарен вектору v и имеет вес X.
(v) Модуль V прост.
(б) Любой простой конечномерный U-модуль порождается старшим вектором. Два конечномерных U-модуля, порожденные старшими векторами одинакового веса, изоморфны. 5.4. Представления sl(2)
131
Доказательство, (а) Согласно лемме 4.3 последовательность {vp}p^о состоит из собственных векторов оператора Я, соответствующих различным собственным значениям. Так как пространство V конечномерно, должно существовать такое п, что Vn ф 0, vn+\ = 0. Формулы из леммы 4.3 показывают, что vm = 0 для всех т > п, и vm ф 0 для всех т ^ п. Мы имеем п = А, так как по лемме 4.3 0 = Xvn+\ = (А — n)vn. Семейство {v = Vq, ... , ^A} линейно независимо, поскольку оно состоит из ненулевых собственных векторов оператора H с различными собственными значениями. Оно также порождает V: действительно, из формул леммы 4.3 видно, что любой элемент модуля V, порожденного вектором V, является линейной комбинацией векторов из семейства {¦Vi}і. Отсюда следует, что dim(F) = А + 1. Мы, таким образом, доказали пункты (і) и (ii). Утверждение (iii) также является следствием леммы 4.3.
(iv) Пусть v' — другой старший вектор. Он является собственным для оператора Я; следовательно, он коллинеарен одному из векторов Vi- Но, снова по лемме 4.3, вектор Vi убивается оператором X тогда и только тогда, когда і = 0.
(v) Пусть V — ненулевой конечномерный [/-подмодуль V, и пусть v' — старший вектор в V'. Тогда v' является также старшим вектором для V. Из (iv) v' ненулевой и коллинеарен v. Следовательно, V принадлежит V'. Так как v порождает V, мы должны иметь V С V', откуда модуль V прост.
(б) Пусть V — старший вектор модуля V; если V прост, то подмодуль, порожденный вектором v, неизбежно совпадает с V. Следовательно, V порождается старшим вектором.
Если модули VnV порождаются старшими векторами v и v' соответственно с одним и тем же весом А, то линейное отображение, отправляющее vi в v11 для всех г, является изоморфизмом U-модулей. ?
С точностью до изоморфизма простые U-модули классифицируются неотрицательными целыми числами: для данного целого n ^ 0 существует, и притом единственный (с точностью до изоморфизма), простой U-модуль размерности n + 1, порожденный старшим вектором веса п. Мы обозначаем этот модуль через V(n), а соответствующий гомоморфизм алгебр Ли — через р(п): sl(2) -> g[(n + 1).
Например, мы имеем K(O) = к и р(0) = 0, что означает, что модуль F(O) тривиален, как и любой модуль размерности 1. В общем случае 132
Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)
любой тривиальный U-модуль изоморфен прямой сумме нескольких копий V(O).
Заметим, что гомоморфизм р( 1): sl(2) —>¦ gt(2) совпадает с естественным вложением sl(2) в fll(2), и что модуль V(2) изоморфен пространству присоединенного представления sl(2) с помощью отображения, посылающего вектор старшего веса Vq в X, ы — в —Н и V2 — в У.
Что касается модулей V(n) большей размерности, то образующие X, Y и H действуют операторами, имеющими следующие матрицы в базисе {«о,«1> • • • , Vn}"-
р(п)(Х) =
( 0
п
0
р(п)(У)
0 О п- 1
0 0 \о о
/00. 1 о .
0 2 Voo.
0 \
•• 1
о о /
о о \
о о
о о
п О J
и
р(п)(Н) =
( п 0
0 п — 2 ..
0 0
VO 0
0 0
0 \ 0
-п + 2 0 0 -ті )
Вычислим действие элемента Казимира на простом модуле V(ті).
Лемма 5.4.5. Любой центральный элемент алгебры U действует на простом модуле V(n) как умножение на скаляр. В частности, элемент Казимира С действует на V(n) умножением на скаляр "("+2); который отличен от нуля при п > 0.
Доказательство. Пусть Z — центральный элемент U. Он коммутирует с оператором H, который задает разложение V(n) в прямую сумму 5.4. Представления sl(2)
133
одномерных собственных подпространств. Следовательно, оператор Z диагонален и имеет те же собственные векторы {и = Vq, «ъ ... , г>п}, что и Я. В частности, существуют числа с*о,... , ап такие, что Zvp = apvp для всех р. Далее,
ap+\Yvp = ар+х(р + l)vp+i = (р + l)Zvp+\ = ZYvp = YZvp = apYvp.
Следовательно, все числа ар равны между собой, откуда Z действует как умножение на скаляр.
Чтобы найти действие элемента Казимира на V(n), нам нужно только вычислить Cv для старшего вектора v. Из формулы (3.4) и леммы 4.3 получаем
