Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 4. Квантовая плоскость и ее симметрии
(i) отображение * является антигомоморфизмом вещественных алгебр, то есть гомоморфизмом из алгебры H в Hop, а также гомоморфизмом вещественных коалгебр и
(ii) S(S(x)*)* = X для всех X Є Н.
Две структуры *! и *2 *-алгебры Хопфа на H эквивалентны, если существует автоморфизм ір алгебры Хопфа H такой, что Lp(х*1) = ср(х)*2 для всех X Є H.
Мы хотим показать, что алгебры Хопфа GLq(2) и SLq(2) обладают естественными структурами *-алгебр Хопфа, определяемыми транспонированием матриц. Нам понадобится следующая эквивалентная формулировка.
Лемма 4.8.2. Алгебра Хопфа H имеет структуру *-алгебры Хопфа тогда и только тогда, когда существует антилинейный автоморфизм 7 пространства H такой, что
(i) отображение j является гомоморфизмом вещественных алгебр и антигомоморфизмом вещественных коалгебр и
(ii) 72 = (Sj)2 = idH.
Доказательство. Предположим, что мы имеем инволюцию * как в определении 8.1. Определим 7 как j(x) = S~l(x*) для всех х Є Н. Очевидно, что отображение 7 — антилинейный автоморфизм алгебры Н. Оно является антигомоморфизмом коалгебр, поскольку по теореме 3.3.4 (а) таковыми являются антипод S и обратное к нему отображение. Мы имеем Sj = *, откуда Sj есть инволюция. Наконец, 7 также является инволюцией, как видно из соотношений
72 = («Г1*)2 = ((^)2)-1 = id^1 = idH-
Второе равенство следует из того, что * есть инволюция, а третье — из определения 8.1 (ii). Обратно, определим отображение * = S17 через автоморфизм j. Оно инволютивно по условию (ii) леммы 8.2. Проверим условие (ii) определения 8.1. Мы имеем
(*S)2 = (SjS)2 = (S7)V1(S7)V1 = J'2 = idH- °
Теперь мы приведем основной результат настоящего параграфа. Мы используем обозначения из предыдущих параграфов. Напомним, 4.8. *-Алгебры Хопфа
113
ванная к
что t — это элемент из GLq{2), обратный к det9 = ad — q 1 bc. В SLq(2) мы имеем t = 1.
Теорема 4.8.3. Для каждого вещественного q ф 0 на алгебрах Хопфа GLql2) и SLq(2) существуют, и притом единственные, структуры *-алгебр Хопфа такие, что
a* = td, b* = -qtc, с* = -qtb, d* = ta, t* = і-1.
Доказательство. По теореме 3.1 матрица ^ ° ^ ^, транспониро-
" ^ ^, является М9(2)-точкой алгебры M9(2). Следовательно, существует, и притом единственный, антилинейный гомоморфизм 7 алгебры Мд(2) в себя, задаваемый матричным соотношением
7(a) 7(6) \ _( а с\
7(с) 7(«*); \ь d)¦ [йЛ)
Так как транспонирование инволютивно, таковым будет и 7. Отображение 7 есть антигомоморфизм коалгебр согласно формуле (5.5), задающей коумножение на M9(2), и тому факту, что транспонирование меняет порядок сомножителей.
Продолжим теперь отображение 7 на GLq(2), полагая 7(t) = t. Так как j(t det9 —1) = idetg —1, оно определяет антилинейные автоморфизмы обеих алгебр GLq(2) и SLq(2). Проверим, что Sj является инволюцией. Достаточно убедиться в этом для образующих а, 6, с, d, t. Для t это очевидно. Для остальных образующих мы имеем
<*>(: SM -А т
Следовательно,
(: S М> (А» т) -
-«С
a 6 с d
В завершение доказательства напомним, что * — Sj. ? 114
Глава 4. Квантовая плоскость и ее симметрии
4.9. Упражнения
1. (Гаусс.) Покажите, что
О
(1 — <7)(1 — q3)... (1 — qn~l), п четно.
п нечетно
2. (Гаусс.) Покажите, что
n -f- т + 1 т + 1
я
3.. Пусть F — конечное поле порядка q.
(а) Покажите, что
я
равно количеству ^-мерных подпро-
странств n-мерного линейного пространства над F.
(б) Докажите соотношения (2.4), (2.5), используя предыдущее утверждение.
4. (q-Дифференцирование.) Рассмотрим линейные операторы Z, Tq и oq на алгебре многочленов к [г] и алгебре к [[г]] формальных степенных рядов, заданные формулами
(б) Докажите, что tq является автоморфизмом алгебр, a sq — T4-дифференцированием.
(в) Покажите, что любое тд-дифференцирование s алгебры к [г] имеет вид s = psq для некоторого многочлена р. Если, кроме того, st4 = qtqs, то p обязан быть константой.
(Zf)(Z) = Zf (z), (Tq(f))(z) = f(qz), (Sq(f))(z) =
/Ы - /(*)
(qz - z)
(а) Проверьте, что
<5яТя = 9т<А> [V Z] = T9, SqZ - q ZSq = 1.
'я 'я — 4.9. Упражнения
115
(г) Предположим, что q не является корнем из единицы. Проверь-
для всех п ^ 0. Выведите отсюда, что ^-экспонента eq(z) есть, с точностью до умножения на константу, единственный формальный ряд, являющийся решением уравнения Sg(f) = /.
5. Пусть A9[?,77] —алгебра к{?, 77}/(?2, 772,?77 + qг]?). Положим
где а, Ь, с, d — переменные, коммутирующие с(иі). Предположим, что q2 ф —1.
(а) Докажите, что утверждения (і) и (ii) теоремы 3.1 равносильны соотношениям
(б) Проверьте, что (а? + Ьг])(с^ + drf) = detq?r]. Выведите отсюда часть (б) предложения 3.4.
(в) Найдите структуру М9(2)-комодульной алгебры на A9[?,77].
6. Покажите, что центром алгебры Mq(2) является подалгебра, порожденная элементом detq, если q не есть корень из единицы.
7. (Базис SLq(2).) Покажите, что семейство мономов {al67cfc}ij)A^0U U {Ьгс^dk}ij^o,/t>o является базисом в SLq(2).
8. Пусть q — корень из единицы порядка d > 1. Докажите, что из ух = qxy следует
