Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
dTD = 16® [Г] + (dT)D,
и из (5.1) следует
VTd = 16® [7*] + (dTf + Y+ ((ОТ) + Y " (а>Т).
Однако на каждой из областей Q+или Q-
VT = dT + v>T, и VT определяет на Q тензорную обобщенную функцию (VT)D = (dTf + (<OTf = (dTf + Y+ (<аТ) + Y~ (юГ).
Таким образом, получаем
VTd = 16® [Г] + (Vf)0, т. е. снова соотношение (4.5).
6. Случай непрерывных тензоров
Вернемся к предположению, что тензор g повсюду относится к классу Ck (k 1).
а. Рассмотрим тензоры Т, которые непрерывны на Q и относятся к классу Ct на Q+ и Q-, такие, что VT регулярно разрывны при пересечении 2. Эти тензоры естественным образом определяют тензорную алгебру зФ. Соотношение (4.6) можно написать в виде
6 [vr] = / <s> Sr. (6.1)
Рассмотрим отображение 6: Т^зФ-^-ЪТ, где ЪТ — тензорная обобщенная функция с носителем на 2. Согласно (6.1), 6 есть производная тензорной алгебры зФ\ 6 линейна, и если TyU^ $Ф, то из (6.1) следует
$(Т ®U) = 5T®U + T®$U. (6.2)
Обобщенная функция бT называется инфинитезимальным разрывом Т; согласно определению, бT зависит только от Т, но не от связности.
б. В оставшейся части настоящего раздела мы будем предполагать Л, ? Jss 2. Следовательно, связность будет относиться к классу С1, а ее тензор кривизны будет непрерывным. Для таких тензоров T рассмотрим гипотезу.
Гипотеза (H). Тензор T непрерывен на Q и относится к классу Ci на Q+ и Q-. Тензоры AT и VVT регулярно разрывны при пересечении 2.
146
А. Лихнерович
Сам тензор VT удовлетворяет предположениям, соответствующим формуле (4.6). Поэтому
S[VaV] = Va(6[Vp7’]) + /a6Vpr
и, согласно (6.1),
6 [V« V/] = %ьт> + 5V- <6-3)
Отсюда следует
б [VaV/] = VaZp ЬТ + Za 5Vpr + ZpVa 87. (6.4)
Из тождества Риччи, примененного к VaVpT, следует fa 5Vpr + ZpVa Sr = Zp 5Var + ZaVp 57-
/a (5Vpr-Vp 87-) = Zp(SVaT--VaSr). (6.5)
Таким образом, существует такая р-тензорная обобщенная функция T с носителем на 2, что
8V = vP8r + W-
Подставляя в (6.4), получаем интересное соотношение
б [VaV/] = VaZp 8 T + ZaVp 8 T + Z3Va 8 T + Ij/. (6.6)
в. На основании (6.6) можно сделать полезное замечание. Выберем фиксированное отображение с областью Q и примем на Q однородную метрику, определяемую этим отображением; тогда коэффициенты связности равны нулю. Пусть / — скаляр, удовлетворяющий гипотезе (H) на Q; тогда в этом отображении
8 [<W ] = дa/0 8/ +8/ + /р<5а 8/ + IJj. (6.7)
II. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны в искривленном пространстве-времени
7. Пространство-время
Пусть (V4, д) —пространство-время, которое здесь является ориентированным дифференцируемым многообразием размерности 4 класса (С2, кусочно С4) с метрическим тензором g
строго гиперболического типа (сигнатура -|-------------) класса
(С1, кусочно С3); ц есть элемент объема в (V4, д). Мы полагаем, что так же, как при пересечении областей двух допустимых отображений, координаты точки х в первом отображении есть функции класса C2 с ненулевым якобианом, зависящие от координат той же точки х во втором отображении. Третья и
5. Теория относительности и математическая физика
147
четвертая производные от этих функций существуют, HO являются только кусочно-непрерывными. Мы видим, что эти предположения о дифференцируемости находятся в строгом соответствии с полевыми уравнениями общей теории относительности и как следствие с физикой.
Известно, что такая дифференцируемая структура всегда может быть определена в С°°-структуре. Представляется вероятным, однако, что любая деталь (C2y кусочно СА)-структуры Va лишена какого бы то ни было физического смысла.
Для такого отображения {ха} с областью Q имеем
Qlcj = ?<хр dxa ® dx$ (a, P и любые греческие индексы = 0, 1, 2, 3).
Аналогично можно предположить, что гравитационные потен-циалы ga$ есть функции класса (С1, кусочно С3).
В любой точке х из V\ векторы X касательного пространства TxVa> удовлетворяющие соотношению gx(Xy X) =0, называются изотропами и порождают конус Cx в TxVa — элементарный конус в точке х. Метрический тензор g определяет, таким образом, поле конусов. Векторы (или направления), лежащие внутри или на конусе Cx(gK(XyX)^ 0), называются временными:; векторы, находящиеся строго внутри конуса Cxy — строго временными, а векторы, внешние по отношению к конусу Cx (gx(XyX) < 0), называются пространственными.
8. Сингулярные 2-формы
а. Рассмотрим в точке х из Va 2-форму F ф 0, для которой существует такой вектор I ф 0, что
IAF = O (8.1)
и
і (I)F = O или / А * F = 0, (8.2)
где * обозначает сопряженный оператор на форме, В компонентах система уравнений (8.1), (8.2) имеет вид
SlaFfiy = O, /aFap = 0, (8.3)
где 5 означает суммирование по циклическим перестановкам. Если это имеет место, то говорят, что F сингулярна в х с фундаментальным вектором I.
Вектор I с необходимостью изотропен: если бы это было не так, то можно было бы ввести в х ортонормированную систему отсчета, допускающую I или пропорциональный ему вектор в качестве элемента (/ = К(0)» Vr(O)=Jhl). В этой системе из (8.3) следует, что Fif- 0, Foi-O (/,/=1, 2, 3) и F равно нулю в х. При выбранном векторе I из (8.1) следует, что
