Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
132
А. Лихнерович
Эта грандиозная программа была выражена впоследствии на языке расслоенных пространств, тех пространств, о которых Картан имел, по-видимому, почти интуитивное представление и структура которых была разработана под его влиянием Эрес-маном и Уитни в период с 1936 по 1939 г. Сам этот язык, однако, никогда Картаном не использовался.
Наиболее естественными расслоенными пространствами являются такие, которые определяются посредством тангенциальных векторов в различных точках дифференцируемого многообразия или же пространством линейных систем отсчета в точках такого многообразия. В этом последнем случае слой в точке, т. е. совокупность систем отсчета в данной точке многообразия, является диффеоморфной к структурной группе, которая здесь представляет собой линейную группу. Такой слой называется главным расслоенным пространством, и современная дифференциальная геометрия в значительной степени основана именно на концепции связности на главном расслоенном пространстве данных групп. В случае расслоенного пространства линейных систем оісчета можно получить линейные связности, которые часто неправильно называют аффинными, поскольку каждая из них канонически ассоциируется с аффинной связностью. Если многообразие допускает риманову или псевдориманову метрику, то главным расслоенным пространствам ортонормирован-ных систем отсчета соответствуют метрические связности, из которых одна и только одна не обладает кручением (риманова связность). В соответствии с сигнатурой метрики структурная группа есть ортогональная группа или группа Лоренца.
Что касается <эбщей теории относительности, то следует отметить, что в отличие от того, что слишком часто утверждается, физическая интерпретация всегда должна осуществляться на основе «переменных» ортонормированных систем отсчета, причем локальные координаты служат только для определения положений событий, чтобы задать, если можно так выразиться, картографию пространственно-временного многообразия. Многие из существующих трудностей совершенно очевидны в физической интерпретации, если допустить только ортонормиро-ванные системы отсчета, временнбе направление которых характеризует пространственно-временную скорость наблюдателя. Эта точка зрения последовательно и успешно развивалась Кат-танео.
Отличный от тензоров геометрический объект появился в 1913 г. в результате исследований Картаном неприводимых представлений ортогональных групп. Ho этот объект оставался в тени, скрытый за прозрачностью чистой математики. И только тогда, когда гений Дирака в поисках релятивистской теории электрона вновь открыл его почти пятнадцатью годами позд-
5. Теория относительности и математическая физика
133
нее, он получил свое название и свой статус в науке. Таким образом, спинор родился на свет дважды: первый раз в руках математика, второй — в руках физика. Став фундаментальным инструментом в релятивистской квантовой механике, он также проявил себя в последние годы как мощное орудие глобальной дифференциальной геометрии, главным образом благодаря известной работе Атья и Сингера. Именйо к работе самого Картана 1936 г. следует обратиться, чтобы найти первый правильный подход к изучению спиноров на римановом или псевдори-мановом многообразии, допускающем спинорную структуру.
В искривленном пространстве-времени общей теории относительности оказалось возможным описывать основные физические поля в терминах тензоров и спиноров, причем спиновый вклад должен вносить каждый член, которому соответствует представление группы Лоренца. Кроме того, после появления общей теории относительности гравитационное поле представлялось значительно отличающимся от других, а именно полем, которое должно описываться непосредственно в терминах связности. Эта ситуация изменилась с появлением поля Янга — Миллса; детальное исследование его привело в последние годы к признанию того факта, что описание в терминах связности является для физического поля (включая электромагнитные поля) наиболее важным и наиболее общим.
Таким образом (и это почти парадоксально) в настоящее время создается полностью новый единый подход, основанный на теориях, называемых калибровочными или суперсимметрич-ными, в контексте, совершенно отличном от старого гипотетического единого ПОЛЯ.
С этих пор дифференциальная геометрия предлагает математической физике удобные и плодотворные концепции, непосредственно необходимые для описания полей. Однако основные проблемы математической физики искривленного прост-ранства-времени сформулированы, как будет видно ниже, на языке функционального анализа на многообразии; именно первой из этих проблем, наиболее первоочередной и наиболее элементарной, и посвящена эта обширная статья. В ней содержится то, что можно назвать математическими основаниями общей теории относительности.
Теория дифференциальных уравнений в частных производных привела благодаря Соболеву [29] и Шварцу [22] к появлению обобщенных функций. Чтобы приспособить этот фундаментальный инструмент к функциональному анализу на дифференцируемом многообразии, было необходимо еще одно усилие, которое проявилось в потоках де Рама (т. е. обобщенных функциях формы) и в более общем виде в понятии тензорных обобщенных функций, которое было введено автором около
