Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
10.2.1. Собственные частоты. Решим задачу о вынужденных колебаниях толстостенной оболочки / с полостью 2, заполненной жидкостью (см. рис. 10.6), когда на внеш-
§ 10,2J СФЕРО- И ЦИЛИНДРООБРАЗНЫЕ КОНЦЕНТРАТОРЫ 303
ней границе оболочки задано радиальное напряжение <То, изменяющееся по гармоническому закону h(—i2nvt). В случае цилиндрообразного концентратора для упрощения задачи предположим, что смещения в направлении оси цилиндра отсутствуют. Тогда исследование можно провести одновременно как для сферо-, так и для цилинд-рообразных концентраторов. Расположим начало координат в центре полости и через г обозначим расстояние от начала координат до точки наблюдения. Для потенциала смещения ф< справедливо уравнение Гельмголь-ца *) (i = 1 для оболочки, і = 2 для полости)
_<_. 4[r»», -о а,
с граничными условиями
о (&) = O0, Р2 (я) — о (a), Ux (a) = U2 (а). (2)
Здесь pi — звуковое давление; амплитуда смещения щ и радиальное напряжение о имеют только радиальные компоненты, причем
(3)
где pi — плотность, Си — скорость распространения продольных волн, A= (н + 1)2а/(1—о), а — коэффициент Пуассона; ?< — волновое число. Решение (1) с условиями (2) и определениями (3) имеет вид
Фі = Af1 (V) + Bf2 (V), Ф2 - Df1 (V), (4)
причем функции /і и /2 линейно независимы и при г = О fi регулярна, a J2 имеет особенность**). При помощи (3) из (4) и (2) получим систему линейных алгебраических
*) Как и прежде, и=*—1/2 в цилиндрическом и и«=0 в сферическом случае.
**) Конкретный вид функций fi и U будет указан ниже.
304
КОНЦЕНТРАТОРЫ
ІГЛ. 10
уравнений для определения постоянных коэффициентов А, В и D:
F1 (P) Л+ Л (P) В+ 0D = F,
F1 (а) А + F2 (а) В - mh (y)D = 0,
F8 (а) А + F4 (а) ?- AT1F8 (v)D = 0.
(5)
Здесь &іа = а, k\b = ?, k2a = Oo/pi©2 = F, p2/p» = m, c2/ci = N,
F1 (x) = fx (x) + hft (x)lx, F8 (*) = f2 (x) + hft (x)/x,
F8 (x) = /І (x), F4 (*) = /2 (д:), л: = et, P или у.
(6)
Детерминант системы (5) имеет вид А («, P. Y) =
(?) ^t(P) О
F1(ol) F8 (а) -/nMY) F9 {ol) F4(O) -W-1F8(V)
(7)
где A1, (а, P)—адъюнкты детерминанта (7), причем в скобках указаны параметры, от которых зависят детерминант и его адъюнкты:
A23 («, P)« F1 (P) F4 (а) - F8 (P) F8 (а), A88 (а, P) = F1 (р) F2 (а) - F1 (а) F8 (P).
(8)
Уравнение собственных частот концентратора А (а, ?, if) = = 0 имеет вид
Мї)/ЗД) = <7Лзз(е% ЛГТ) [Д2з(еЛГТ; JVT)]-i, (9)
где <7 = = рг^/рі^і, = а, еЛ^ == ?, е = &/а.
10.2.2. Распределение звукового давления в полости концентратора. Предположим, что затуханием в оболочке можно пренебречь по сравнению с затуханием в полости. Последнее учтем введением комплексного волнового числа (5.3.1) и детерминанта А (а, ?, 7)= А (а, ?, 7) +J
і 10.21 СФЕРО- И ЦИЛИНДРООБРАЗНЫЕ КОНЦЕНТРАТОРЫ 305
+ ?Д'(а, ?, y), причем •f= k2a,
А'(а, M) = m Іт/,(7)Д23(а, р) -Af"1 Im F8(T) Азе (а, ?).
(10)
Im и Re — мнимая и действительные части стоящих за этими знаками функций. Учитывая, что D ==,
=/7AiS(а)/А (а, (1,7), из (4) и (10) получим распределение звукового давления в сферической полости:
p2(k2r) =аоДіз(а)[Д(а,М) + /Д'(а, M)]-1, (11)
где
.A13(а) =^(^/^4(а)-^2(а)(а). (12)
Коэффициент усиления звукового давления, равный модулю отношения давления в центре концентратора к радиальному напряжению на внешней поверхности оболочки, имеет вид
Я*== |МО)/ао| =
- IA18 (a)Z1 (O) [А (а, M) + Ш(а, ?, 7) ] 1. (13)
Из (11) и (13) следует, что в момент резонанса, когда А (а, ?, y) =0, величины p2(k2r) и /ср максимальны.
Рассмотрим вопрос о возможности совмещения ре-зонансов оболочки и полости концентраторов. Звуковое давление в полости р2(р) = Dp2®2f 1 (р), где р = k2r9 а колебательная скорость (Р) = Dk2f'i (р). Удельный импеданс полости
t(Tf) = [Pa/f»]p-T = -/i (Tf)^s(Y). (H)
а собственные частоты свободной полости определяются из условия /72 (y) = /5p2co2/i(y) = 0 или ?(ї) = °-
Собственные частоты свободной оболочки при условии, что полость пуста, получим из системы (5):
A33(gc, ?) =0. (15)
Сравнивая между собой формулы (9), (14) и (15), видим, что в момент резонанса полости, когда /1(7) = 0, должно выполняться условие резонанса оболочки (15), но при этом импеданс полости ?(7) = 0, так что полость
20 И. H4 Каневский
306
КОНЦЕНТРАТОРЫ
ІГЛ. 10
перестает влиять на колебания оболочки и фактически наступает резонанс последней. Следовательно, совмещение резонансов полости и оболочки принципиально невозможно. Эта закономерность является отражением фундаментального свойства колебательных систем, состоящего в невозможности совмещения собственных частот различных частей системы при сильной связи между этими частями.
10.2.3. Сферообразный концентратор. Представим сферические функции Бесселя в виде
/1/2(*) = sinxj]х=s\(x) и /-1/2(х)— COSXjX=Ci(x),
Тогда f\(x) = Si(a:), f2(x) = Ci(#) и из определений (6) найдем
Fi(X) - ШІ*)2-Фі(х) - (B2Ix)C1(X)9 Ых) = Ш/хУ+I]C1(X) - (B2Ix)S1[X)9 Fz (х) = C1 (х) — si (X) Ix9 FA (х) — S1 (х) + C1 (х) fx.
Здесь g = 1 — А = 2сц/сц. При помощи этих выражений вычислим адъюнкты (8), пренебрежем членами порядка от2, ?""2, так как а, ? 1, и из (9) получим трансцендентное уравнение для определения собственных частот сферообразного концентратора:
