Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
2.3.1. Решение Кинга. Требуется решить волновое уравнение, когда на круглом отверстии диафрагмы радиуса а, вдоль акустической оси которой распространяется плоская волна с колебательной скоростью Vo9 задано граничное условие для производной потенциала:
Граничное условие на контуре диафрагмы, когда r0 = а, мы получим впоследствии из найденного решения. Решая волновое уравнение в цилиндрической системе коор-.динат методом разделения переменных, найдем частное решение, удовлетворяющее принципу излучения:
где {і = уя2 — &2, а /(Я)—некоторая непрерывная функция, вид которой следует определить из граничного условия (1). Поскольку излученная волна распространяется в полупространстве, то параметр Я изменяется непрерывно, принимая все возможные положительные значения. Поэтому общее решение волнового уравнения
(1)
ФСо, -го) =f(X)J0(Xro)h(iiiZo),
(2)
§2 3] представление поля b виде набора волн 69
имеет вид
OO
Ф (г0, г0) ¦= J / (X) J0 (Kr0) h (IfLZ0) X dX,
(3)
О
а соответственное граничное условие
oo
= ^if (X) J0(Xr0) dX
U
V0 при О < г0^ а, , О при г0 > а.
О при
(4)
Для нахождения /(Я) воспользуемся теоремой инверсии Ханкеля, из которой следует, что f{k)=v0aJ\(ai)l\i. Тогда получим общее решение:
Это решение удовлетворяет граничному условию (1), причем значение на контуре диафрагмы г0 = а равно у0/2. Таким образом, амплитуда составляющей скорости на контуре диафрагмы равна половине амплитуды в падающей плоской волне; на контуре диафрагмы производная потенциала имеет разрыв первого рода, при котором функция в точке разрыва равна оолусумме пределов справа и слева. Для дальней зоны излучателя, когда Z0 > а, Кинг получил выражение для потенциала, совпадающее с рэлеевским:
где Ai — ламбда-функция первого порядка.
2.3.2. Асимптотическое представление. Недостаток формулы Кинга состоит в том, что она представляет поле в интегральной форме и вычисления по этой формуле, кроме отмеченных выше исключительных случаев, сопряжены со значительными трудностями. Поэтому дальнейшие наши исследования направлены на то, чтобы представить формулу Кинга в виде степенного ряда,
OO
Ф zo) = V0U
I0O f J1 (Xa) J0 (Xr0)Ih (- WZ0)Hi] X dX. (5)
o
Ф = (v0a*/i2f) h (- ft/)Ai (р sin 6m),
(6)
70
ПОЛЯ ФРОНТОВ В ПАРАКСИАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. 2
более удобного для вычислений, чем исходное выражение (5), и показать пригодность этого «представления — при использовании соответственных функций распределения— для описания полей любых осесимметричных излучателей — как плоских, так и фокусирующих.
Докажем, что справедливо следующее представление:
OO
Jf(X) h(-^z0)Ii-1A = где г
(8)
а
F(X) = A0 (Kr0) / (Я), / (%) = f A0 (Ir0) W (г.) r0 dra,
о
*Р(го)—действительная или комплексная функция, удовлетворяющая условию существования интеграла (8) при О^/о^а,
і
I8{a) = $4{ax)x2s+ldx. (9)
о
Действительно, при условиях (8) и (9) справедлива формула Гриншпана [38]:
OO
/» [h(- kz0)fz0] 2 ^(Я)/^]«=*г^
Введем оператор D$= (d/XdX)8 и представим послед*-нес выражение в виде
IHz0)Jz0] S (tt)W(X)|^0. (Ю)
При помощи формул (8) и выражения для производной
§2.3]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛЯ В ВИДЕ НАБОРА ВОЛН
71
ламбда-функции найдем
D* F (X) = J] ( J) Pf W ^8A0 (Хах)9
і
D7 (X) = (- I)8 [a2(s+1)/2es!] J Л, (X«) (a*) x28+idx,
о
Dq~3 A0 (Хах) = (- 1)*— (а*х*/2)д— [Aq-S (Xax)/(q - s)!].
Подставив два последних выражения в первое, а первое— в формулу (10), получим искомое представление (7). Формулы (7) и J[5) позволяют получить общее выражение для потенциала в дальней зоне плоского волнового фронта, ограниченного диафрагмой с круглым отверстием радиуса а:
(H)
Здесь V0 — амплитуда колебательной скорости на волновом фронте, ? (ах) — функция распределения этой величины, а 1ш(а) определяется формулой (9).
2.3.3. Вычисление полей. Вычислим при помощи (11) поле плоского круглого однородного фронта радиуса а. В этом случае Ф (г) = 1, тогда из (9) найдем /,(a) = = 1/2(1+5). При этом значении I8 (а) выражение (11) описывает поле слабо сходящегося волнового фронта. Путем несложных преобразований можно показать, что в квадратичном приближении выражения (11) при /в (а) =.1/2 (5+1) и (2.2.8) одинаковы.
Вычислим теперь при помощи (11) поле однородного сходящегося сферического фронта. У такого фронта при г0 <С H комплексную функцию распределения амплитуды ло зрачку (1.3.74) можно представить в виде
^(ах) tth(-kh') [h(—$x2)—bx2h(-^$x2)]9 (12)
где ? = ka2/2H, b = 3(a/2#)2, x = r0/a9 H — расстояние от фокуса до зрачка фронта. Вычислим интеграл (9)
72
ПОЛЯ ФРОНТОВ В ПАРАКСИАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ ГГЛ. 2
с функцией распределения (12), после чего из (11), пренебрегая членами порядка (kH)~l в выражении для I8 и членами порядка (r0Jz0)2 в выражении для Ф, получим
Ф (р, t)» і k^f h (_ с ь -** tg 0m + ftA'j X
Здесь через h! обозначена глубина фронта, чтобы ее отличить от функции-винта h, Ig 0m = а/Я. Формула (13) аналогична формуле (2.2.9).
Сравнивая результаты § 2.2 и § 2.3, можно заключить, что методы вычисления полей путем представления решения волнового уравнения в виде бесконечного ряда и путем представления решения в виде интеграла дают практически одинаковые результаты, когда осуществляется переход от интеграла к асимптотическому ряду. Различие между методами состоит в том, что в случае интегрального представления решения граничные условия задаются на излучающей поверхности, а в случае представления в виде ряда — на контуре, являющемся осью излучателя. В последнем случае возникает необходимость решить дополнительную задачу и найти распре* деление поля на акустической оси,чтодляосесимметрич-ных излучателей не представляет трудностей.
