Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В дальнейшем плоский волновой фронт, ограниченный диафрагмой с круглым отверстием, мы будем называть для краткости круглым волновым фронтом, а ограниченный диафрагмой с квадратным отверстием — квадратным волновым фронтом.
§ 2.1. Поле на акустической оси волновых фронтов
2.1.1. Плоский круглый волновой фронт. Введем в формулу (1.3.76) переменную z=')/r2+z§ (г — расстояние от центра излучателя вдоль его радиуса) и проинтегрируем по поверхности излучателя с радиусом а, когда точка наблюдения расположена на акустической оси. Потенциал
дения до центра и края излучателя соответственно. Аппроксимируя функцию распределения амплитуды по поверхности излучателя полиномом (1.3.39), из (1) получим общее выражение для распределения потенциала
(1)
расстояние от точки наблю-
58 ПОЛЯ ФРОНТОВ В ПАРАКСИАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. 2
по акустической оси плоского излучателя:
Ф (S) = - V0 {Л_! [Ci (S0) - Ci (S) - і Si (Sa) + І Si (S)I +
где S = kzoy ga = kza, Ci (x) и Si (х)— интегральные косинус и синус. Рассмотрим частные случаи. Для однородного волнового фронта ^(2) = 1, An=Ao=I, А-\= = Л_(я+2) = 0, потенциал
Формулу (3) подробно исследовал Штенцель [15]. Здесь мы отметим два обстоятельства, вытекающие из выражения (3). Поле на оси описывается всего двумя плоскими волнами, излученными из наиболее и наименее удаленных точек излучателя — от его края и от его центра. Как увидим в дальнейшем, эта закономерность является общей и присуща также фокусирующим излучателям. Представив (3) в виде
Ф(« = (2vo/k)h[-&* + S)/2]sin[(Sa- 0/2], (4)
используем выражение (4) для определения дальней зоны излучателя. Границей дальней зоны излучателя называется такое расстояние от излучателя в направлении акустической оси, на котором последний представляет одну зону Френеля. Физически это расстояние определяется тем, что потенциал на оси достигает последний раз максимума, после чего наступает его монотонный спад при увеличении расстояния от излучателя. Из (4) следует, что это произойдет, когда (Sa-S)/2^я/2. Полагая
- h (- S) Sn~s] + S А-Ы+2)к1~п[1п 1(п + 1)!] X
X [ S т (h (- S0) Sa"' - h (- S) Vі) +
+ Ci (S0) - Ci (S) - і Si (Sa) + І Si (S)I}, (2)
Ф(6)--('W*)[h(-?.)-h(-&)J.
(3)
§21] ПОЛЕ НА АКУСТИЧЕСКОЙ ОСИ ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ 59
zattZo+a2/2z0, получим известное выражение, определяющее расстояние до границы дальней зоны плоского волнового фронта, ограниченного диафрагмой с круглым отверстием радиуса a: Z^a2JX9 X — длина волны.
Для неоднородного фронта с косинус-распределением амплитуды, когда 4F(^) Z=Z0Z-1=cos 6 (9 — угол между акустической осью и прямой, соединяющей точку наблюдения с произвольной точкой излучающей поверхности), следует в формуле (2) положить Л_1 = z0, An = О, Л_(п+2)= 0, тогда потенциал
Ф(С)——(»о/*)С{[Сі(С.)—Ci(C)]—«[Si(C.)—Si(C)]}.
(5)
Если 1F (z) = zlz~~q = cos« 6, то в формуле (2) надо положить Л__1= An = О, Л_(П+2) = Aq = 4, тогда потенциал Ф (О = - V0FP-2Ik211^I(Q -1)1] X
X flf PsI kIh(- U СГ1 — h(— Z) С""1] +
U=O
+ ICi (CJ - Ci (С)] + і I- Si (Ca) + Si (С)]]. (6)
Выражения (2) — (6) пригодны для вычисления полей на акустической оси длиннофокусных сходящихся волновых фронтов.
2.1.2. Плоский квадратный волновой фронт. Вычислим поле на акустической оси плоского волнового фронта, ограниченного диафрагмой с квадратным отверстием со стороной 2а. Предполагая, что расстояния до точки наблюдения велики, так что Z0^x, Уо>х, положим в (1.1.13) RttZQ+x2/2z0-\-y2l2zo и проинтегрируем по поверхности фронта; используя определение интегралов Френеля C(w) и S(ад), получим следующее выражение для потенциала на акустической оси:
Ф (С) = (2V0Ik) h(t)[C(v) -IS (v)]t (7)
где V = ka/Vn^. Величина |Ф (v) | достигает абсолютного максимума при wm=l, 2, затем при ?—>oo аргу-
60
поля фронтов в параксиальной области ггл. 2
мент V—и |Ф(?)|—монотонно. Последний максимум на акустической оси (как мы видели в случае диафрагмы с круглым отверстием) определяет границу дальней зоны, которая для квадратного фронта равна ?0a*1,4 а2IX. Для круглых волновых фронтов, вписанного в квадратный и описанного вокруг него, расстояния до границ дальних зон соответственно равны z\=a2l% и z2=2a2/X. Легко видеть, что расстояние до границы дальней зоны квадратного излучателя является средним
ГеОМеТрИЧеСКИМ ПОСЛеДНИХ ВеЛИЧИН Zo=^Z\Z2.
2.1.3. Сферический сходящийся однородный волновой фронт. Обратимся к формуле (1.1.13), в которой введем переменную интегрирования Z=R] тогда потенциал на оси фронта равен
Ф(?)=^ jh(-*Z)<fe=-^lh(-U-h(-?o)1,
(8)
где
S = kz0, Sm = kRm, S0 = kR0,
Rm = [f2 + *2o-2fz0cosQm]if\ (9)
Ro = If2 + & - 2/z0 cos 0O11/2 = / =F Z09
Rm и R0 — расстояния от точки наблюдения, расположенной на акустической оси, до края и центра волнового фронта соответственно. Введем обозначения
Aa=HR1n-R0) /2, A=k(Rm+R0)/2 (10)
и представим формулу (8) в виде
Ф (S) = (2vM) h (-A) sin (Aa). (11)
Выражение (11)—точное значение интеграла (1.1.13), поскольку в (11) учитывается как изменение фазы сходящихся волн, так и изменения амплитуды. Формула Дебая (1.2.9) справедлива только при &/>1, г0</ и амплитудные изменения не учитывает.
