Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Переходя к звуковому давлению (1.1.8), найдем
|/7//7,|Н (Si* Aa)/S|.
(12)
§ 2.1] ПОЛЕ НА АКУСТИЧЕСКОЙ ОСИ ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ 61
Если 20«С/, то выражения (10) упрощаются:
A„«Csin2(9m/2), Д kf—С cos2(om/2). (13)
2.1.4. Сферический фронт с косинус-распределением амплитуды. Вводя в формулу (1.3.76) 4^(9) = cos Отчитывая, что для акустической оси
cos Q=fI2z0—R2/2fz0+z0/2f, (14)
d cos Q= — (R/fz0)dR, получим
Rm
Ф (z0) = (v0fl2zl) f (/2 + z\ - R2) h (- *Я) dR,
где /?о и Rm имеют значения (9). Интегрируя, найдем точное значение потенциала в приближении Кирхгофа,
когда cos (я, R) ~ 1:
-^h-«>['+4+*-f+'^]C-
(15)
В окрестности фокуса длиннофокусного волнового фронта, у которого А/>1, из (15) получим
Ф = 1^[Ь(- иcosem-h(- C0)cos90], (16) где t>=kz0.
Из сравнения (12) и (16) следует, что при 0т<1 распределения звукового давления при равномерном и косинусоидальном распределениях амплитуды по фронту практически одинаковы. Физически это объясняется незначительным изменением амплитуды на волновом фронте в пределах малого угла 9m. В формуле (16) при C = O имеется особенность. Поэтому для фокуса, когда Z0= 0, точное значение звукового давления удобнее получить непосредственно из формулы (1.3.76). положив R = f:
\pf\ =MpCos2(9J2).
62
поля фронтов в параксиальной области ггл. 2
2.1.5. Цилиндрический сходящийся однородный волновой фронт. Для цилиндрического фронта, в отличие от сферического, точное значение интеграла Дебая в общем виде получить не удается и приходится рассматривать частные случаи. Если угол раскрытия фронта мал, так что cosa« 1—a2/2, то из (1.2.10) при ao = 0 получим
Ou«) = -uoK2//nfth(-a4 + C) f h(-?a2/2)da? • (17)
b
где Сц = kf — л;/4, ? = ^о. Введя переменную t = ?а2/2 и обозначение v =-=^^2, получим
Фц(С)--^01/"/^Ь(-ац-С + г;/2) X
X ат[С(v)-iS (V)] v~i/2. (18)
Для полуцилиндрического фронта ат = л;/2; из формулы (1.2.10) при ao = 0 найдем
Фц (Q = W0 h (- ац)[/0 (I) + IS0 (?)], (19)
где J0(I) и So(I) —функции Бесселя и Струве. Формулы (18) и (19) были получены ранее Розенбергом и Каневским [14].
§ 2.2. Представление поля в виде бесконечного ряда
В теории дифференциальных уравнений используется метод отыскания решений при помощи степенных рядов. Этот метод применим и для вычисления полей излучателей, причем он является достаточно общим и позволяет легко получать аналитические выражения для полей любых осесимметричных излучателей — плоских, фокусирующих или создающих расходящиеся волновые фронты. Найденные таким образом решения наиболее удобны для исследования полей в окрестности акустической оси, в параксиальной области.
Покажем, что иоле любого волнового фронта с симметричным распределением амплитуды относительно
§2 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА 63
акустической оси может быть выражено через функцию распределения потенциала по акустической оси и ее производные в направлении этой оси.
2.2.1. Осесимметричные волновые фронты. Решение волнового уравнения
?Ф JW *Ф +т = 0
дг$ 'о дгі
ищем в виде
Фс(Го, Z) = U A2n[Z0)rln. (1)
п= О
Подставив (1) в волновое уравнение и перенумеровав члены, найдем
oo
2[(2л)2Л2„(г0) +
+ Щ 2 420-1) (Z0) + ^2(«-D (?)] Я"-» = О,
Отсюда следует рекуррентная формула для коэффициентов ряда (1):
Аы (Z0) = - (2пГ21> A2{n-i) (Z0) + (^)%n-i) (?)].
Подставляя последовательно коэффициенты Л2<п-і)(2о) в это выражение с понижением п на единицу, получим
Аы (S) - [(- 1Г*2*2-2» (/г!)-2]І ) (^)Ч (S),
причем t=ftzo, (d/dS) — 1- Полагая в (1) г0=0, получим выражение для распределения потенциала то акустической оси: (Dc(S) = ^o(S)- Тогда из (1) и (2) следует, что потенциал
ФЛ9Л)= lByn±(n)(^foe(i), (3) где p=?r0, ?n=(-l)"2-2"(n!)-2.
64 ПОЛЯ ФРОНТОВ В ПАРАКСИАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ [ГЛ. 2
2.2.2. Цилиндрические волновые фронты. Решение волнового уравнения
ищем в виде
oo
Фц(Уо>*о)= 2 A2n(Z*) У2"
п= О
и так же, как в осесимметричном случае, получим
ф«(ч. о - ?^**? (3(^)4(0. (4)
где
Bn= (-1)4(2/1)!]-1, ч=*уо, С=**,-
Удобство формул (3) и (4) состоит в том, что они позволяют вычислить поле излучателя во всей области, если известно поле на его акустической оси. Последнее вычислить' проще, чем первое, причем во многих практически важных случаях для поля на оси можно получить точное выражение, как мы видели в § 2.1. Формулы (3) и (4) наиболее просто применять для вычисления поля на больших расстояниях от поверхности излучателя (Zo а), поскольку в этом случае упрощается вычисление производных функции Ф(?), а также в параксиальной области (х\ < 1), когда ряды (3) и (4) быстро сходятся.
Одним из практически интересных следствий выражений (3) и (4) является заключение о поведении поля в окрестности акустической оси излучателя, когда точка наблюдения находится на достаточно больших расстояниях от излучающей поверхности; при удалении от акустической оси амплитуда потенциала в окрестности оси убывает по параболическому закону при любом фиксированном значении Z0. Действительно, ограничиваясь в формулах (3) и (4) квадратичными членами при р, ц < 1 и переходя к звуковому давлению (1.1.8),