Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
156- Упражнение. Решите основное кинетическое уравнение с резкой отражающей границей
Pn=Pn + i+Pn-i—2Pn (п> 0), (6.7.13а)
Po=Pi-Po- (6.7.136)
6.8. ИСКУССТВЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ И НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ
Только некоторые задачи с искусственными границами можно рассматривать с помощью принципа отражения. В этом параграфе мы изложим метод нормальных мод, который в принципе пригоден для задач с искусственными границами всех типов. Вместо того чтобы развивать этот метод во всей полноте, мы продемонстрируем его на примере 2 из § 6.7 — на модели диффузионно контролируемых химических реакций. Для того чтобы решить систему уравнений (6.7.7), сначала нужно найти нормальные моды. Зная из § 5.7, что собственные значения действительны и неположительны, положим
Величина ф„ должна быть собственным вектором основного кинетического уравнения (6.7.7); значит,
(2-^ = 4^ + (^ (п = 2, 3, ...), (6.8.1а)
(2 — Я.)ФІ = Ф2 + 7Фо, (6.8.16)
(V—Ь)Фп = Фі- (6.8. їв)
Первая строка представляет собой разностное уравнение с постоянными коэффициентами, которое можно решить стандартным способом (аналогичным введению плоских волн в дифференциальных уравнениях) с помощью анзаца ф„ = 2", где z находится из решения следующего уравнения:
2->. = z+l/z. (6.8.2)
Это уравнение имеет два решения z1, z2 при z1z2= 1. Следовательно,
ф „=ад+ад. (6.8.3)
Для того чтобы уравнение (6.8.1а) удовлетворялось при всех указанных п, это выражение для ф„ должно быть справедливым для всех ф„, т. е. для /1=1, 2, 3, ... . Оставшаяся величина ф0 и константы C1, C2 подбирают так, чтобы удовлетворить двум другим уравнениям:
(2-Х) (c1z1 + C2Z2) = c1zl + C2ZJ + ТФ„, (6.8.4а)
(Y—я)Ф „ = ад + ад. (6.8.46)
Исключая ф0 и используя (6.8.2), получаем
C1 _ гх + (1 —у)га + у—2 C2 ' г1+(1 —0)гх + у—2 '
157- Ограничения на допустимые значения к получим, изучая поведение фи при больших п. Если два корня уравнения (6.8.2) действительны, то по крайней мере один из них должен иметь абсолютное значение, много большее единицы (исключая частные случаи Z1 = Z2 = ±1, описанные в следующем параграфе). Тогда (6.8.3) экспоненциально возрастает при больших п. Физически это означает, что плотность молекул А экспоненциально возрастает, что, вообще говоря, не запрещено, но не имеет отношения к диффузионно контролируемым химическим реакциям. Математическая причина для отбрасывания таких решений состоит в том, что оставшиеся решения образуют полную систему, т. е. их достаточно, чтобы воспроизвести любое начальное состояние, которым мы будем интересоваться.
Соответственно будем рассматривать только такие значения X, для которых корни уравнения (6.8.2) комплексны. Поскольку они должны лежать на единичной окружности, можно положить
z1 = ci*, Z2 = е-1", О (6.8.5)
Следовательно,
k = 2—2cos q = 4 sin2 (]/*<?). (6.8.6)
Величина к является действительной и О /v 4. Далее, отношение
= _ 2~2cqsg-т + те''" ^6 g 7
Сг 2 — 2 cos q-~Y-I-Yew
по модулю равно единице и поэтому его можно записать в виде е-'^ с действительной функцией т](<7). Подстановка в (6.8.3) дает
ф<?> = Ccosfon + Г) (?)] (п= 1, 2, 3, ...). (6.8.8)
Это плоская волна со сдвигом фазы rj, определяемым границей. Остальные компоненты для п = 0 получаются из (6.8.1в):
Ф^-С-,^+*1* . (6.8.9)
чи 2 — 2 cosg—Y v '
Резюме: для каждого q в интервале (6.8.5) мы нашли одну собственную функцию. Ее компоненты при п > О даются выражением (6.8.8), а компонента для п = 0 — выражением (6.8.9). Естественно, они определены с точностью до постоянного множителя С. Связанное с ними собственное значение определяется формулой (6.8.6).
Упражнение. Среди найденных здесь решений нет стационарного решения, упомянутого в § 6.7, хотя очевидно, что оно удовлетворяет (6.8.1). Где оно было потеряно?
Упражнение. Проверьте, что нули знаменателя в выражении (6.8.9) сокращаются с нулями числителя. Выведите альтернативное выражение
<P<*>=.?cost|. (6.8.10)
Упражнение. Величина V) определена с точностью до прибавления числа, кратного я. Покажите, что значение т] можно сделать единственным, выбирая
158- г[(0) =0 и делая аналитическое продолжение. Покажите, что аналитическая функция т] (q), полученная таким путем, является нечетной:
(—<?) = — Т) (<?)•
(6.8.11)
а2іті(<г)
Упражнение. Покажите, что функция S(q) = e определенная соотноше-
нием (6.8.7), обладает следующими свойствами, перекликающимися со свойствами S-матрицы *:
1) S (q)* = S (q)~l = S (—а) для всех действительных q\
2) S (q) голоморфна в верхней полуплоскости и стремится к конечному значению в пределе \mq~rx.
Нам осталось показать, что найденные моды образуют полную систему. Для этого выберем нормировку C = V2/л и докажем условие полноты (5.7.10). Сначала берем т > 0, п > 0 и доказываем, что
л
— j cos [qm + Tl (?)] cos [qn + tj (q)] dq = 6„ о
Используя (6.8.11), для левой части можно записать
я
_L ^ (ei?(m fnIe2iri^' -j- е'^'"-"*) dq.
(6.8.12)
Второй член в подынтегральной функции есть желаемая Ьтп. Можно показать, что первый член обращается в нуль, если рассмотреть замкнутый контур в комплексной (/-плоскости (рис. 15). Функция е2ії|(<?) является периодической и, согласно приведенному выше упражнению, голоморфной и ограниченной в верхней половине комплексной 9-пло-скости. Тогда из-за наличия множителя еі<,іп+т) вклад от пунктирной линии (рис. 16) обращается в нуль, когда она сдвигается на бесконечность, а вклады от двух вертикальных прямых сокращаются вследствие периодичности. Это доказывает (6.8.12) для п, т > 0.
