Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
6.10. ПРОБЛЕМА ПЕРВОГО ПРОХОЖДЕНИЯ
Для простоты сначала рассмотрим случай неограниченного блуждания из § 6.2. Можно задаться следующим вопросом. Предположим, что частица, совершающая случайные блуждания, стартует с участка т при Z = O; сколько ей потребуется времени, чтобы впервые достичь заданного участка Ю Естественно, это время первого прохождения будет различным для разных реализаций этого блуждания и, сле-
* P. S. de Laplace, Theorie analytique des probabilities (3 rd ed., Courcier, Paris, 1820), p. 292.
** M. Malek-Mansour and G. Nicolis, J. Statist. Phys., 13, 197 (1975).
164- довательно, является случайной переменной. Нам надо найти ее распределение вероятности, в частности среднее время первого прохождения *.
Пусть ^n (/) —вероятность того, что в момент времени t блуждающая частица находится на участке п, не побывав на участке N. Это qn (t) можно представить как плотность ансамбля частиц, совершающих случайные блуждания, которые все стартуют из т при / = O и движутся независимо, и каждый раз, когда одна из них попадает в N, она выходит из игры, т. е. не дает больше вклада в плотность qN. Понятно, это означает, что</(/) удовлетворяет основному кинетическому уравнению для случайного блуждания с поглощающей ямой на участке N. Чтобы закрепить эту мысль, возьмем т < N и запишем
?я = <7я+І + <7„-І-2<7„ (n<<V- 2), (6.10.1а)
ЯJV-I ~ Я N-2 2Я N—' (6.10.16)
Эти уравнения нужно решить с заданным начальным условием Яп (0) = 6Я,Я.
Тогда число блуждающих частиц, которые к моменту времени t попали на участок N, дается величиной qt ((), где
</. = <7лг-і- (6.10.2)
Распределение отрезков времени, характеризующих первое прохождение, дается числом, а вернее, долей частиц, совершающих случайное блуждание, которые попали на участок N за время, прошедшее между t, t + At. Пусть эта доля равна fm{t)A(. Тогда fm (t) как раз и есть величина (6.10.2). Тогда проблема первого прохождения совпадает с граничной задачей (6.10.1) с поглощающей границей. Ограничения на случайное блуждание не являются необходимыми. Для произвольной одношаговой задачи (6.1.2) проблема первого прохождения эквивалентна следующей задаче с поглощающей границей:
= (Е — 1) г пЯп + (Е-1 Ц ёпЯп (n^N-2), (6.10.3а) ClN-I = — Г N-tfN-l + SN-ЇЯ N-г — gN-іЯ N-I- (6.10.36) Решив это уравнение с начальным условием qn (0) = Ьп т, получаем
[т(Г) = Я*(П = ёлг-гЯА--г- (6-10.4)
Заметим, что (6.10.3) можно интерпретировать как исходный одношаговый процесс, обрезанный на участке N с граничным усло-
* Это является центральной темой в теории марковских цепей, см.: J. Н. В. Kemperrnan, The Passage Problem for a Stationary Markov Chain (University of Chicago Press, Chicago, 1961); Keilson, Markov Chain Models (Springer, New York, 1979).
165- виєм ^v = O- Полная вероятность когда-либо достичь N есть
• N-1
"лг. . = і L (0 dt = <7* (оо) =1—2 Яп («О- (6.10.5)
о
Если она равна единице, то среднее время первого прохождения
® .V- 1 ®
Тлг. - = S tfm (t) dt = 2 S Яп (0 dt. (6.10.6)
о - ш о
В § 11.2 будет показано, что это среднее можно найти явно, не решая полного основного кинетического уравнения. Приведем несколько примеров, приводящих к проблеме первого прохождения.
1. Диффузионно контролируемая реакция в § 6.7 в пределе % = оо: молекула,, попавшая на участок п -исчезает навсегда.
2. Число особей ti в популяции: 'да п-- G, популяция вымирает. Аналогичные уравнения пр;:г..- к автокаталитическим реакциям, таким, как
A + XZI2X. (6.10.7)
Когда число ti молекул X обращается в нуль, они перестают вырабатываться.
3. Двухатомная молекула может иметь последовательность колебательных уровней /г = 0, 1, 2, ..., N. Последовательные столкновения заставляют ее перескакивать с уровня на уровень, вперед и назад, но если она достигает (Af-fl)-ro уровня, она диссоциирует. Эта задача изложена более подробно в § 7.5.
4. Нейрон получает последовательные случайные электрохимические импульсы, пока его потенциал не достигнет порогового значения, при котором нейрон разряжается*.
Упражнение. Запишите те же самые уравнения для случая N > т. Упражнение. Резкая поглощающая граница (6.7.6) содержит один свободный параметр с, являющийся скоростью, с которой частицы исчезают с крайнего участка. В задачах первого прохождения этот параметр фиксирован самим уравнением. Покажите, что (6.7.6) описывает проблему первого прохождения для случайного блуждания, когда либо с=1; либо с = оо. Эти случаи в § 6.2 мы называли «полностью поглощающими». Упражнение. Решите проблему первого прохождения для симметричного случайного блуждания. Покажите, что любая граница достигается с вероятностью ЯДГ, „---1, но среднее время первого прохождения бесконечно. Заметьте, что это также отвечает на вопрос, как долго азартный игрок с начальным капиталом т может подбрасывать монету, пока не разорится. Упражнение. Решите проблему первого прохождения для асимметричного случайного блуждания. Упражнение. Обозначьте V оператор правой части (6.10.3). Тогда
