Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
В примерах предыдущего параграфа и в большинстве других приложений коэффициенты г„ и gn представляют собой не наборы чисел, а задаются довольно простыми аналитическими функциями rin), ff(n), зависящими от переменной п. Если бы это было не так, то не было бы никакой надежды найти явные решения, кроме случая, когда число состояний очень мало. Однако это также предполагает, что специальные уравнения (6.1.3) и (6.1.5) на границах должны восприниматься совершенно серьезно и их нельзя включить в общее уравнение с помощью простого приема, описанного в (6.1.4) и (6.1.6), не нарушив аналитического характера. Следовательно, когда имеются
* Статьи Улама и Гамерслея опубликованы в кн.: Proceedings of the Fourth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Vol. Ill (J. Neyman ed., University of California Press, Berkeley 1961).
Рис. 12. Отскакивающая частица в модели Гамерслея
147- две границы, основное кинетическое уравнение необходимо запи сывать в виде трех отдельных уравнений:
Pn = r(n+l)pa+l+g(n — 1 )/>„_! — {r(n) + g(rt)}/7„ (6.5.1) для п = 1, 2, ..., N — 1 и
Замечание. Может случиться так, что влияние границ распространяется на несколько дополнительных уравнений. Примером служит модель диффузионно контролируемой химической реакции в § 6.7. Кроме того, следует отметить, что могут встречаться «примеси», т. е. внутренние участки, на которых гп и gn могут отклоняться от значения, задаваемого аналитическим выражением, использованным в (6.5.1). Тогда уравнения для рп для двух или большего количества внутренних участков должны записываться отдельно. На некоторое время мы исключим такие усложнения.
Однако существует специальный тип границы, для которого этот исключительный характер может быть сделан безвредным. Рассмотрим класс б) в § 6.1, т. е. я = 0, 1, 2, ... . Мы будем называть границу п = 0 «естественной», если:
1) общее уравнение (6.5.1) справедливо вплоть до п~\, так что имеется одно уравнение (6.5.2) на границе; *
2) кроме того, г (O) = O.
В этом случае можно использовать следующий прием.
Объявляем, что уравнение (6.5.1) справедливо при всех п от —оо до +оо, но будем рассматривать только такие решения этого уравнения, у которых начальные значения /?„(0) равны нулю при п < 0. Понятно, что если Pn (t) при п < 0, то оно останется нулем при всех t > 0, потому что условие t (0) = 0 гарантирует отсутствие переходов из состояния 0 в состояние —-1. Следовательно, общее уравнение (6.5.1) сводится к (6.5.2) при я = 0. Тогда граничное условие просто ограничивает возможный выбор начальных условий. Но оно уже больше не появляется в самом уравнении, что очень сильно облегчает его решение.
Причина, по которой границы в физических задачах часто оказываются естественными, становится понятной, если рассмотреть простой пример радиоактивного распада из § 4.6. Вероятность того, что произойдет испускание, пропорциональна числу п радиоактивных ядер и, следовательно, автоматически обращается в нуль при п = 0. Это же справедливо, когда п — число молекул определенного сорта в химической реакции или число индивидуумов в популяции. Всегда, когда п по своей природе не может стать отрицательным, для любого разумного основного кинетического уравнения должно выполняться г (0) = 0. Однако это не исключает возможности того, что при малых п происходит что-нибудь особенное, нарушающее аналитический характер г (п), как это имеет место в примере с диффузионно контролируемыми реакциями. Границу, которая не является естественной, мы будем называть искусственной (см. § 6.7).
Po = ^(I)Pi-S(O) Po,
Pn = g №— 1) Pjv-I ~ г (N) pN.
(6.5.2)
(6.5.3)
148- Упражнение. Покажите, что коэффициенты в уравнении (6.5.2) и (6.5.3) нельзя
изменить, не нарушив закон сохранения вероятности. Упражнение. Предположим, что граница при п = 0 такова, что требует двух дополнительных уравнений для ра и pt. Сколько дополнительных коэффициентов появится, если вероятность должна сохраняться? Что произойдет в случае для k добавочных уравнений? Упражнение. При каких условиях верхняя граница при л = N будет естественной?
Упражнение. Убедитесь в том, что все границы в § 6.4 являются естественными,
а граница, заданнная (6.3.11),— нет. Упражнение. Используя (6.3.4), докажите, что для задач, связанных с линейными одношаговыми процессами, естественная граница обладает тем свойством, что <я> не может пересечь ее.
6.6. ЛИНЕЙНЫЙ ОДНОШАГОВЫЙ ПРОЦЕСС С ЕСТЕСТВЕННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Уравнение, которое нужно решать, можно записать в виде
pn = a(E-\)(r + n)pn + b(E-^l)(g^n)pn, (6.6.1)
с постоянными a, b, г, g. Сначала мы не будем обращать внимания на границы и рассмотрим его как разностное уравнение для — оо < п < оо с начальным условием рп(0) = Snra. Далее мы положим афО, Ьф О, афЬ. Из общего решения, найденного таким путем, можно получить различные частные случаи, подставляя частные значения или переходя к соответствующим пределам.
Опять используем производящую функцию вероятности (6.2.3). Умножим (6.6.1) на Zn и просуммируем по всем п, в результате получим
