Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение. Часто вместо (6.2.10) удобнее использовать (6.2.9). Выведите с помощью (6.2.5) соотношения
<п(ф-~ 0, <я(02>- = 2*.
* D. Bedeaux1 К. Lakatos-Lindenberg, and К- Е. Shuler, Л. Mathern. Phys. 12, 2116 (1971); Feller II, p. 177; Cox and Miller, p. 239.
138- Тогда средний квадрат расстояния, проходимого за время от 0 до /, возрастает пропорционально /, как и в случае случайного блуждания с дискретным временем. Как это можно было бы показать, не решая основного кинетического уравнения явно? Упражнение. Покажите, что (6.2.10) можно также представить в виде
/>„(*)-е-«/, „,<20, (6.2.11)
где In — функция Бесселя п-го порядка мнимого аргумента. Убедитесь непосредственно, что (6.2.11) удовлетворяет (6.2.1). Запишите также таким способом решение уравнения (6.2.1) с произвольным начальным значением рп (0).
Упражнение. Из известных свойств In следует асимптотическое выражение для больших / (более точно: /ос, пос при фиксированном значении я2//);
рп (0 --= -^==- ехр j— O1I(At)]. (6.2.12)
У 4л/
Выведите этот результат с помощью (6.2.6) и метода перевала. Упражнение. Повторите вычисление, проведенное в тексте, использ\я G(k, /) вместо F (г, /).
Упражнение. Асимметричное случайное блуждание на бесконечной решетке описывается основным кинетическим уравнением
р,г-='-ърп±1 + $Рп-\ — (a-r?) Pn (а ?). (6.2.13)
Оно описывает диффузию в присутствии внешней силы. Решите это уравнение с помощью преобразования
рп (!) -Чп (0 (?/«)"/2 ехр L- - (а-+ ?— 2)/ a?) 11. (Более прямой метод будет следовать из общего рассмотрения в § 6.6.) Найдите <n')t и '\<n2;>f Упражнение. Пусть p,,(t) — решение уравнения (6.2 1) с начальным значением
M0) = 6„,ra-f б„, -т-1 (т -0).
Из-за симметрии результирующий поток вероятности между —1 и 0 должен обратиться в нуль. Следовательно, рп (t) ограничена значениями п -. 0 и является случайным блужданием на полубесконечной области с отражающей границей с уравнением на границе
Pr, = Pi — Po-
Упражнение. Пусть V11 — винеровский процесс, K1, K2.....Kr — случайные
блуждания с разными длинами шагов и вероятностями перехода. Покажите, что K0-I-K1-J-Kj-I- ...+Kr является процессом с независимыми приращениями (см. (4.4.7)), и найдите их вероятности перехода.
6,3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОШАГОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Можно сильно сократить запись формул, если ввести оператор шага Е, который определим по его действию на произвольную функцию [ (п):
E f(n) = f(n+l), Е"7(л) = /(л-1). (6.3.1)
Если п меняется от —оо до оо, то оператор E можно рассматривать как настоящий оператор в функциональном пространстве, но в случаях, когда имеются одна или две границы, E лучше считать простым обозначением для сокращения записи. Большинство
139- его свойств очевидны, но мы, в частности, отметим следующее:
2 S In) Ь f(n) = 2 fin) E-^g(n) (6.3,2)
h=o п=1
для любой пары дробных функций /, g. Разные пределы суммирования в двух членах этого выражения создают неудобство, однако, к счастью, на практике эта разница часто оказывается несущественной либо потому, что пределы бесконечны (и /, и (или) g достаточно быстро обращаются в нуль на бесконечности), либо потому, что недостающие члены можно добавить к сумме, поскольку они итак равны нулю. Например, член с n = 0 можно прибавить к правой части, когда /(O) =-O или когда g(—l) приписано нулевое значение.
С помощью этого символа основное кинетическое уравнение для одношаговых процессов можно записать в виде
рп--- (E-I) rnPn + (E-i-\)gnPn. (6.3.3)
Это выражение остается справедливым в граничных точках, если потребовать выполнений усл< аий (6.1.4) и (6.1.6). В качестве примера (6.3.2) вычислим
А <я> - 2 « (E" 1) r«Pn 1- 2 п (Е-1 - і)g„p„ -
- 2 гпРп (Е-1- і) л 4- 2 SV» (E-I)ZI--=- 'rn>+<gH\ (6.3.4)
Этот результат интуитивно ясен и не отличается от (5.8.3).
Примечание. Коэффициенты гп и g„ не могут быть отрицательны, но могут быть равны нулю. Если для некоторого k оба коэффициента и gk-i обращаются в нуль, то это означает, что переходы между состояниями к — ( и к невозможны. Следовательно, процесс распадается на два отдельных процесса Если для некоторого к коэффициенты г к > 0, git-і -0. то переходы из k в k—! возможны, но обратные переходы запрещены. Можно ожидать, что состояния я исчерпаются и что вся вероятность сосредоточится в состояниях п <. к. Тогда множество состояний п < к является «поглощающим» в смысле, определенном в § 5.2. Действительно, в этом случае Pn--O для п^к. Случай г к 0, естественно, аналогичен данному.
Упражнение. Примените эти рассуждения к основному кинетическому уравнению для радиоактивного распада и найдите таким, способом поглощающее состояние.
Упражнение. Напишите, правую часть уравнения (6.3,3) в виде W-матрицы. действующей на вектор [р,,}. Покажите, что дви случая, выделенные в приведенном выше примечании, соответствуют разложимой и приводимой матрицам перехода. Упражнение. Выведите
~ Wi V-2-'я (#„ — /¦„);-г-.;g„ + r„ . (6.3.5(
Упражнение. Найдите дифференциальное уравнение для производящей функции F (z, t), предположив, что гп и gn — многочлены по п. Упражнение. Уравнения (6.3.4) и (6.3.5) для случайного блуждания (симметричного или несимметричного) можно решить. Найдите решения и срав-
