Специальные функции математической физики - Кафтанова Ю.В.
ISBN 978-966-2046-62-5
Скачать (прямая ссылка):
Wx = m* Wx2/ 2 = LS*KmoPa Wx2/ 2
Поэтому Wx = La R2 Wx2/ 4
Wx = W cos (g — b + a/2)= La R2 Wx2/ 4
Отсюда Wx =
W
cos (g — b + a/2)
La
80
2 / ^ (a — b) cos (g — b + a/2)
Очевидно, что вертикальная составляющая внутренней энергии перейдет во внутреннюю энергию QW волны:
QW = Wy = W—Wx = W(1 — cos (g — b + a/2))
Отношение израсходованной на придание начальной скорости энергии к энергии этого сектора будет
Wx / W = cos (g — b + a/2)
Отношение энергии, которая была затрачена на придание корости фронту волны к общей энергии будет
Wx / Q = cos (g — b + a/2) (a — b) / a
Из полученных формул можно вывести критерий отношения начальных скоростей для первой большой и второй следующей за ней ударной волны. Введем величину
= {^х / ™х)2
Отсюда W
a
cos (g + a — b/2) (a — b) cos (g — b + a/2)
Очевидно, что если величина введенного критерия ?1 меньше единицы, ударная волна цунами в начальный момент получит меньшую скорость, чем первая волна, и скорости волн в начале будут соотноситься как:
гл1'2
Ух — \1 М?х — взаимосвязь начальных скоростей. Если ? < 1, то соответственно Ух < М?х и наоборот.
Причем приведенный критерий для ? выполняется для любой системы измерений углов — как в радианах, так и в более привычных многим людям градусах.
Рассмотрим пример: а — 50°, Ь = 10°, У — 30°.
Тогда ? = 0,564 и соответственно Ух = 0,75 М?х
В примере вторая ударная вторая волна получит меньшую начальную скорость, чем первая обычная волна.
81
Рассмотрим пример: а — 20°, В — 10°, у — 60°, когда углы, формирующие каждую из двух волн, одинаковы.
Тогда О = 1,0352 и соответственно Ух = 1,017 М?х , то есть две начальные скорости практически совпадут.
Поскольку для вывода формул, связывающих скорости волн и их энергии, мы предполагали, что круговой сектор для упрощения вычислений может моделироваться треугольником, приведенные формулы справедливы только при малых значениях углов а и В и большом значении у.
Если какой-либо из углов достаточно большой, сектор нужно разбить на несколько отдельных секторов и вычислить суммарные и средние арифметические величины.
Оценивать изучаемые величины при помощи численных и приближенных вычислений на практике может быть проще, чем строить аналитические модели. Особенно при высоких начальных погрешностях оценок углов и величин.
После того, как произошел второй фазовый переход, паре волн системы цунами у поверхности океана придаются некоторые начальные скорости и величины аккумулированной внутренней энергии. С этого момента волны начинают свободное движение от эпицентра и источника цунами.
Физика движения системы волн цунами в воде и расходящихся приповерхностных ударных волн землетрясения в земной коре значительно отличается друг от друга, хотя с точки зрения математической физики оба этих процесса у поверхности моделируется одними и теми же волновыми уравнениями в цилиндрических координатах.
Это связано с концептуальными различиями реализации физических механизмов передачи колебаний в жидких и твердых средах. Вода пластична и, в отличие от твердых горных пород, способна упруго реагировать на возмущения, формируя при этом турбулентные потоки, а не растрескиваясь или деформируясь. 82
С момента начала движения волн цунами до момента начала полного гашения их внутренней энергии с точки зрения фазовых переходов система может быть смоделирована отдельной математической моделью с удобной для исследователя системой координат.
Выберем систему координат, которая будет двигаться синхронно вместе с волной. Ось Ох совпадет с направлением градиента к фронту распространения волны. Поэтому волны в этой системе можно рассматривать как стоячие, тогда их поведение моделировать существенно удобнее.
В такой модели мы отдельно рассматриваем скорость движения системы координат с течением времени, и отдельно — изменение профиля стоячей волны с течением времени. Связывать скорость движения системы координат и изменение профиля волны будет значение кинетической энергии, функция рассеивания энергии волн при движении и закон сохранения энергии.
Если бы волна цунами в идеальной жидкости двигалась без трения и рассеивания энергии в бесконечно длинном коридоре с параллельными стенками, ее профиль все время оставался бы неизменным, а система координат двигалась бы прямолинейно и равномерно. Такая идеализированная модель, естественно, в принципе не может использоваться для описания поведения цунами.
На практике, если источник в желобе на дне океана сформировал одну или несколько волн, каждая такая волна цунами движется независимо друг от друга в секторе круга угла ф, сохраняя образ своего источника, ее длина Ф(г).
цунами на дне океанского желоба
фронт волны цунами
Расходящиеся сектора и их профили связаны друг с другом по принципу подобия, если профиль волны не будет нарушаться препятствиями в процессе ее движения.
83
Воспользовавшись теорией подобия и геометрическим понятием обобщенного конуса, можно утверждать, что даже в случае линейного источника ненулевой длины на некотором удалении от источника волны можно рассматривать как волны от точечного источника большей мощности, находящегося в вершине О гипотетического конуса.
