Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
Моменты можно очень легко выразить через собственные функции и собственные значения интегрального уравнения. Это, собственно говоря, и есть единственная вещь, которую вы должны знать из теории интегральных уравнений. Вся трудность заключается в том, что уравнение (128) выполняется только тогда, когда г ? Q. Единственная переменная, которая может обозначать точку, лежащую вне Q, есть у, поэтому-то у и надо рассматривать отдельно. Мы получаем формулу
fl-s^-S^^M- (130)
Это — формула для повторного ядра, которую вы найдете в любом учебнике по теории интегральных уравнений. Она вполне аналогична выражению /с-й степени матрицы через собственные значения и собственные векторы исходной матрицы. Вы могли бы теперь задать мне вопрос, почему я не воспользовался интегральным уравнением для того, чтобы заменить
на 2яЯуфу(у). Дело в том, что я могу это сделать лишь при условии, что у находится в области Q. Если же у лежит вне Q, то тогда я не могу этого сделать. Поэтому, раз я не знаю, где находится у, я должен оставить этот интеграл в таком виде, как он есть. Найдем теперь производящую функцию моментов:
OO
С
) Ip-
У\
(131)
(132)
163
Легко видеть, как это можно сделать. Просто разложим указанную величину в ряд. Надо немного повозиться со сходимостью, и в конце концов мы получаем
OO
*{.-*"*¦•*»}=і - 2 т+°ї-Л »л> * і х
X [ Ш**т (133) J Ip-уI
Обращаю ваше внимание на следующее обстоятельство. Справа стоит типичное классическое выражение, слева же — среднее значение, т. е. интеграл по функциональному пространству. Мы будем выяснять свойства классического выражения при помощи наблюдений над средним значением в функциональном пространстве.
Заметим, что вся правая часть удовлетворяет уравнению Лапласа для у, лежащих вне области. Это очевидно. Формула (133) является суммой потенциалов пространственных распределений масс. Распределения масс даются функциями ф;- (р). Конечно, мы имеем здесь бесконечный ряд, однако легко показать, что он равномерно сходится в любой конечной области.
Посмотрим теперь, что происходит, когда U-^OO. Это будет очень интересно. Посмотрим на ехр { — иТ&(у, г(т)}. Когда и стремится к бесконечности, это выражение может стремиться к двум пределам. Оно стремится к нулю, если Т&(у, г) ^> О, и к единице, если T&(y,r) = 0. Это — единственные возможности, так как время Tq (у, г), очевидно, неотрицательно. Попробуем теперь понять, что это означает. Не надо забывать, что Tq (у, г) зависит от траектории г (т). Если эта траектория проходит через область Q, тогда мы в пределе получаем нуль. Ведь в этом случае частица находится в области Q конечное время. Для каждой траектории, не проходящей через область Q, предел равняется единице. Это предел функции, а мы должны взять математическое ожидание. Следовательно, мы должны вы-
164
полнить интегрирование по веем траекториям. Для тех из вас, кто изучал в молодости теорию меры, это одно из немногих мест, где приходится пользоваться свойством полной аддитивности меры. В самом деле, мы должны воспользоваться теоремой о том, что предел интеграла есть интеграл от предела. В нашем случае это очень просто, поскольку мы имеем дело с множеством функций, убывающих, когда и стремится к бесконечности.
В пределе левая часть равенства (133) есть, следовательно, просто интеграл от функции, которая равна нулю для всех траекторий, проходящих через область Q, и единице для траекторий, не проходящих через Q. Но что означает интеграл от функции, равной единице на некотором множестве и нулю вне этого множества? Это как раз и есть вероятность, соответствующая этому множеству. В пределе мы, следовательно, получаем
ПтЕ{е~иТ^У}Г(х))} =РгоЬ{Гй(#, г(т))=0} =
и f OO
OO
Для нас это будет удобнее записать в виде Prob {7^, г(т))>0} =
OO
Это равенство выражает то же самое, но является гораздо более приятным. Оно дает нам вероятность прохождения через область Q, выраженную в виде предела ряда при и, стремящемся к бесконечности. Оно справедливо для каждого у, лежащего на границе, внутри или вне области Q.
Я хотел бы обратить ваше внимание на одну вещь. Предел (135) является, помимо всего прочего, функцией гармонической. Чтобы это доказать, я должен сослаться на хорошо известную теорему Гарнака.
165
Эта теорема гласит, что предел ограниченной убывающей последовательности гармонических функций является функцией гармонической. А мы имеем дело как раз с такой последовательностью. В этом легко убедиться, если посмотреть на левую часть формулы (134). Итак, если вы поверите приведенной выше теореме, которую можно найти в любом учебнике теории потенциала, то увидите, что (135) есть функция гармоническая. Обозначим ее через U(y). Мы знаем, что она удовлетворяет уравнению AU= 0, когда г/(? Q.
U(у) является не только гармони-
„ ческой функцией; это также не что
Вероятностное е:
выражение иное, как объемный потенциал.
для объемного Этот последний, согласно опре-потенциала делению, есть гармоническая
