Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
По существу, приведенная теорема весьма неглубока. Она отличается изяществом и взывает к нашим чувствам, однако в действительности она не является глубокой. В ней нет динамической сущности. В принципе, — это теорема, которая связывает число измерений рассматриваемого пространства с некоторой весьма и весьма грубой идеей компактности. Если число измерений достаточно велико, и если множество не является компактным, то существует возможность выхода траектории из этого множества. Однако эти факты служат началом совершенно нового, наглядного способа рассмотрения теории потенциала.
159
Распределение Чтобы перейти к теории потен-
времени пиала, мы должны сделать нечто
пребывания в Q 2 Г
г большее, чем простое вычисление
среднего времени (117). Мы должны постараться найти распределение времени. Это очень важный шаг. Мы должны вычислить все моменты, а не только среднее значение (117). Вычислим второй момент:
OO
E[IT0Uf, г(т))]«} =?{[$ V(y + r(x)dx}2}. (119)
О
Ход наших рассуждений в настоящем случае будет почти таким же, как и в случае телеграфного уравнения. Запишем снова квадрат интеграла как двойной интеграл:
E[IT0Uf, г(т))]«} =
OO OO
= Е{ \\ V {у + T(T1)) VUf + г(т2)) dx.dxX (119')
О о
Этот интеграл взят теперь по квадрату (очевидно, по бесконечному квадрату). Так же как и ранее, мы можем интегрировать лишь по половине квадрата и результат потом умножить на 2
OO X2
2IE { \ dx2 \ dx, V (у + F(X1)) V(у + г(х2))\. (120)
о о
Изменим теперь последовательность нахождения математического ожидания и интегрирования. Получим
оо X2
2! $dx2 ^dX1EiV(у + F(X1)) V(у + F(X2))}. (121)
о о
Это можно обосновать. V(y -\~ F(X1)) является или нулем, или единицей, в зависимости от того, нахо^-дится у + F(X1) в Q в момент времени T1 или нет. То же самое справедливо и для V(у + г(т2)). Математическое ожидание произведения этих двух выражений содержится, следовательно, в формуле (108), измененной в соответствии с тем, что мы теперь начи-
160
наем движение из точки у вместо точки нуль. Воспользуемся поэтому формулой (108) при Q1 и Q2, равных Q:
оо T2
2! \ dx2 ^dX1 $ $ P (у IT1, T1) P (F11 г2, T2 — T1) drt dr2.
О О QQ
(122)
Это легко видеть. Просто мы должны осуществить переход из точки у в некоторую точку T1 области Q, а затем переход из этой точки в точку г2 той же области. Мы видим, что было бы гораздо выгоднее интегрировать по пространственным переменным в последнюю очередь:
оо X2
2! \ \ Ur1 dr2 ] dx2 \ dx1 P (у | rv T1) P (гх | г., T2 — T1).
QQ OO
(123)
Интегралы по времени оказываются снова связанными со сверткой. Это вызвано свойством Маркова вместе с временной однородностью. Временная однородность означает, что все зависит от разности времени. Мы имеем везде T2 — T1 вместо T1 И T2 по отдельности. Теперь легко видеть, что произойдет с интегралами по времени. Допустим, что мы вставили под знак интеграла е~~ sT2 :
со T 2
\ dx2e - $ dx± P (у IT1, T1) P (F1 I г2, T2 - T1). (124)
о о
Выражение (124) является просто преобразованием Лапласа свертки. Конечно, на самом деле у нас нет сомножителя e~ST2. Но это лишь означает, что мы приняли s = 0. Преобразование Лапласа свертки является просто произведением преобразований Лапласа. Эти преобразования известны для S = O (см. формулы (116) и (117)). Из этого рассуждения сразу следует, что
Щ[Та(У, г(т))].} \ jj jjr^-j^ drtdr2.
Q Q
(125)
161
Это — второй момент. Ясно, как получить прочие моменты. Можно было бы провести точно такое же рассуждение, но только с большим количеством выкладок.
Мы имеем следующую формулу для к-то момента: J*=-^E{T*Q(y, г (г))} =
1
Г2 — ГХ I I Гк — rh_x I
(126)
Каждый, кто когда-либо имел дело с интегральными уравнениями, заметит, что в (126) мы имеем нечто, что выглядит очень похоже на повторное ядро. Это напоминает возведение матрицы в степень. Чтобы увидеть это, запишем подынтегральное выражение из формулы (126) в виде
я(Jf» гг)а(г1ч г2)а(г21 г8) ... a (rk_v rk). (127)
Теперь я должен предположить, что вы знаете еще кое-что об инте-с задачей тральных уравнениях. Если вы
интегральное действительно обладаете такими
уравнение знаниями, то для вас будет естест-
венным рассмотреть одновременно с этой задачей следующее интегральное уравнение:
^ Ф (P) dp = ? (г), r?Q. (128)
2л \
Обращаю ваше внимание на то, что это трехмерное интегральное уравнение. Интеграл здесь берется не по поверхности области Q, а по ее объему. Это хорошее трехмерное интегральное уравнение. Ядро
І ГІ_ р I» которое хотя и обладает особенностью,
на самом деле не является столь уж плохим. Действительно, интеграл
^ТТ^ТТз (129)
162
конечен. Следовательно, это так называемое ядро е суммируемым квадратом. В этом случае применима вся теория интегральных уравнений, в частности, вся теория Гильберта и Шмидта. Можно показать, что интегральное уравнение (128) имеет собственные значения. Все они положительны. Это уравнение имеет также полную систему нормированных собственных функций.
