Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
наименьшего рассеяния энергии) в силу произвольности вариаций
эквивалентны линейным законам и соотношениям взаимности Онзагера (2.1),
(2.7).
Впоследствии обе формы принципа наименьшего рассеяния энергии были
объединены Дьярмати [9] в одном вариационном условии:
где варьирование в равной мере может осуществляться и по силам, и по
потокам. Таким образом, принцип (2.16) утверждает экстремальность
локальной функции (в - Ф - G), известной как функция Онзагера - Махлупа,
и содержит все положения линейной термодинамики Онзагера:
6{в - Ф - G} = 0,
(2.16)
6(в-Ф- G)x
8Jk = 0, (2.17)
6(0-$-G)j
SXk = 0, (2.18)
Lkj - Ljk.
40
Глава 2
Другая запись принципа (2.16) возникает, если потенциалы рассеяния (2.4),
(2.5) взяты не в энтропийном, а в энергетическом представлении G* = TG,
Ф* = ТФ, а производство энтропии в заменено диссипативной функцией ф =
Тв.
Наряду с локальной формой принципа наименьшего рассеяния энергии (2.16)
Дьярмати была дана и его интегральная форма для континуума в виде
S
v
J'(ре + V Js-G - Ф)<1У = 8 J(в - G - Ф)<1У = 0. (2.19)
Частная форма интегрального принципа (2.19) возникает при рассмотрении
необратимых процессов в адиабатически изолированных системах, где / V •
JsdV = / Js ¦ dfl = 0 и /psdV = f 9dV = E, и следова-
v
тельно
J (ps - G - Ф№ = J (в - G - Ф№ = max, (2.20)
8 J (в - G - Ф)dV = 0 при J psdV = J в dV. (2-21)
V V V
Еще одна важная форма интегрального принципа (2.19) возникает при
рассмотрении стационарных необратимых процессов в открытых системах,
когда параметры состояния не зависят от времени и полная
энтропия системы остается постоянной, т. е. f sdV = 0 и
V
/ V • JsdV = f 9dV,
f(V Js-G -Ф)(1У = f(0-G- Ф)<1У = max. <y2'2T>
v v
Этот интегральный принцип Онзагера для стационарных процессов приводится
к более удобному виду, если, используя теорему Гаусса, учесть, что
41
и, следовательно,
/GdV = min, 8 f GdV = О, <5X^0,
(2.23)
v v
f $dV = min,
8 f $dV = 0,
(2.24)
v
v
J(G+'$)dV = min, tf/(C?+#)dF = 0.
(2.25)
V
Эти принципы минимума при фиксированном значении интегрального потока
энтропии на граничной поверхности системы определяют распределение
потоков и сил в стационарных необратимых процессах. Интересно, что
принцип минимума (2.24), сформулированный как условие минимума потенциала
рассеяния, был первой формой принципа Онзагера, определенной им как
принцип наименьшего рассеяния энергии.
Независимо от принципа Онзагера для стационарных процессов был установлен
другой весьма плодотворный принцип термодинамики необратимых процессов -
принцип минимума производства энтропии. Его первая формулировка для
прерывных систем принадлежит Пригожину и известна в виде следующей
теоремы [4]: если система поддерживается в состоянии с постоянными силами
Xi,X2,... ,X*(fc < т), то минимальное производство энтропии
отвечает состоянию, в котором потоки с номерами j = к + 1, к + 2,..., т
исчезают.
Альтернативная формулировка принципа состоит в утверждении: в
стационарном состоянии, совместимом с внешними ограничениями,
производство энтропии в системе минимально, если выполняются линейные
законы Онзагера, соотношения взаимности, а феноменологические
коэффициенты постоянны.
В случае непрерывных систем формулировка принципа Пригожина дается как
обобщение (2.26) на "языке" локального производства
0 = min, 8@ = 0
(2.26)
42
Глава 2
энтропии:
/л 771 л
0dV / Y^JhxkdV = min, 8 / 6W = 0. (2.27)
у у к=1 у
Таким образом, производство энтропии обладает экстремальным свойством в
условиях стационарных состояний системы, вызванных фиксированными
граничными условиями. Предельным случаем стационарных состояний является,
как известно, равновесное состояние системы, где производство энтропии
равно нулю, а сама энтропия максимальна,
Сравнивая формулировки принципов минимального производства энтропии
(2.27) и наименьшего рассеяния энергии (2.23), (2.24), легко убедиться,
что оба принципа взаимосвязаны, более того, принцип При-гожина является
лишь эквивалентной формой принципа Онзагера на основе энтропийных
представлений. Эта связь была впервые отмечена Дьярмати [9].
Плодотворный вариационный принцип линейной термодинамики, известный как
принцип максимальной скорости порождения энтропии (максимальной скорости
работы диссипации), был предложен Циглером [11]. Он также сформулирован в
двух альтернативных формах - в представлении через потоки и силы. Так,
формулировка принципа в представлении потоков состоит в утверждении, что
функционал
{6(J,X)-\'F(J,X)}x
имеет экстремум при варьировании по потокам J при постоянных
термодинамических силах X:
8{0(J, X) - X'F(J, Х)}х = 0, (2.28)
и дополнительном условии
F(J,X) = 2 *(J,J)-0(J,X) = 0,
где Л' - неопределенный множитель Лагранжа.
Альтернативная формулировка принципа в представлении термодинамических
сил имеет вид
6{0(J, X) - \"F'(J, X)}j = 0, (2.28а)
43
F'(J, X) = 2G(X, X) - 0(J, X).
Принцип (2.28), (2.28a) эквивалентен линейным законам и соотношениям
