Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
влияние на установление равновесия. Аналогичное условие можно записать и
для неравновесных стационарных процессов: (АТ/Ах) <С Т/А, где АТ -
макроскопическое изменение температуры на расстоянии Ах; А - длина
свободного пробега частиц в элементарном процессе, контролирующем
установление локального равновесия.
1.2. Принцип локального равновесия. Баланс энтропии
29
На установление локального равновесия оказывают влияние не только
столкновительные, но также и излучательные процессы в системах, особенно
в газах при высоких температурах. Как известно, в условиях равновесия эти
процессы, идущие в прямом и обратном направлениях, должны быть
скомпенсированы. Однако излучательные процессы скомпенсировать
значительно труднее, ибо действующие градиенты температур обусловливают
локально нескомпенсированный поток излучения в окружающую среду.
Следовательно, локальное равновесие устанавливается лишь тогда, когда
частота столкновительных процессов намного превышает частоты
излучательных процессов, обусловливающих те же изменения состояния
системы.
17. Является ли область электрического разряда с поперечными размерами 1
см и температурой на оси 104 К локально равновесной, если свободный
пробег, оказывающий основное влияние на установление термодинамического
равновесия в системе, ограничивается столк-новительными процессами атомов
с электронами и при атмосферном давлении имеет порядок ~ 10_3 см?
18. Считая, что понятия локальных внутренних параметров термодинамической
системы определены, доказать справедливость соот-
П
ношения Гиббса ds = T~1du - T~1pdv - T~1 ^2 nudck Для неравновес-
k=i
ного состояния, лежащего в окрестности равновесия.
Решение. В равновесных условиях изменение энтропии системы определяется
соотношением Гиббса. Пусть в неравновесных условиях локальная энтропия
системы зависит от ряда дополнительных внутренних параметров а*, которыми
могут быть, в частности, градиенты интенсивных параметров состояния (АТ,
Дщ. и др.), т. е. s = s(u,v,Ck,cti, ¦ ¦ •); тогда справедливо расширенное
соотношение Гиббса
При малом отклонении от состояния равновесия рассматривается вариация
первого порядка от энтропии, причем значения приведенных
30
Глава 1
производных следует брать для состояния равновесия, где выполняется
соотношение Гиббса. Следовательно, сравнивая предыдущее выражение с
соотношением Гиббса, указанным в условии задачи, легко найти
ds 1 ds р ds ци ds ds
~du = Г' ~dv = Г' fck=~Y: d^= ' dY2 = '
что и требовалось доказать для неравновесных систем, не слишком удаленных
от состояния равновесия.
Примечание. Пригожиным были проведены [4] детальные вычисления удельной
энтропии на основе кинетической теории газов по методу Энскога - Чэпмена
и установлено соответствие результатов вычислений термодинамической
теории, т. е. соотношению Гиббса (1.1а), если в разложении р к ро + р\ +
р2 + ¦ ¦ ¦ функции распределения р для неравновесного статистического
ансамбля удерживать только первое слагаемое pi после равновесного ро- При
удержании второго слагаемого р2 удельная энтропия оказывается явной
функцией градиентов, действующих в неравновесной системе. Ограничение р к
ро +pi, как известно, означает малость отклонения системы от состояния
равновесия и требует малости средней длины свободного пробега атомов в
сравнении с размерами предоставленной системе области, малости изменений
температуры, состава, скорости на длине свободного пробега и т.д. Наличие
этих требований служит, с одной стороны, обоснованием введения в теорию
понятий локальных величин (удельной энтропии, температуры и т. д.), а с
другой - свидетельствует о приемлемости соотношения Гиббса в локальной
форме (1.1а) для описания слабо неравновесных систем.
19. Указать градиенты и скорости изменения температуры в условиях
охлаждения металла из жидкого состояния, при которых нарушается принцип
локального равновесия. Считать, что длина свободного пробега электрона,
скорость на уровне Ферми и температура жидкого металла соответствуют
значениям ~ 10-5 см, 108 см/с, 103 К.
1.2. Принцип локального равновесия. Баланс энтропии
31
20. Построить общее выражение производства энтропии для слабо
неравновесной адиабатически изолированной системы, макроскопическое
состояние которой описывается набором п независимых скалярных переменных
а^(г = 1,2,..., и). Считать, что энтропия S неравновесного состояния
системы в окрестности равновесия, где S = So, равна S(a*) = So + AS(cti).
21. Найти для изолированной прерывной системы, состоящей из двух
подсистем с энергиями U\ = U(r) + a, ?/2 =11(r) - а, баланс энтропии, считая,
что подсистемы находятся в тепловом контакте. Здесь С/°, С/(r) - значения
энергий подсистем в условиях равновесия.
Решение. Если E/i,E/2 ^ а, то энтропию неравновесной системы можно
разложить в ряд Тейлора по параметру а :
Поскольку производные в разложении берутся для условий равновесия, то
где То - равновесная температура системы. Следовательно, энтропия равна
