Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях - Журавлев В.А.
ISBN 5-7029-0292-0
Скачать (прямая ссылка):
относительно произвольных вращений в изотропной среде, т.е. LBB = (LBB)',
то ? LBBXaX0 = ? LB^X'aX'0.
аф аф
Это выражение показывает, что диадная форма из компонент векторов X, Y
переходит после преобразования R в такую же форму, но из компонент
векторов X',Y'. Причем коэффициентами при компонентах векторов до и после
преобразования являются элементы тензора LBB. Следовательно, последнее
выражение справедливо, если инвариантно преобразуется диада. Это
требование выполняется для линейного инварианта самой диады, т.е. при а =
(3.
Отсюда следует вывод, что LBB = LBBU, где LBB - скаляр, U - единичный
тензор. Аналогично можно показать, что LCT = LCTU, LTC = LTCU. Однако по
исходному условию последние два тензора обладают нулевым следом, и
поэтому LCT = LTC = 0. Остается сделать заключение в отношении
коэффициента LTT. Для этого, как и ранее, образуем инвариантную форму
? LTBlSAa0BlS= ?
осф, 7,6=1 ck,/3,7,<5=1
Это выражение есть линейная комбинация инвариантов четвертого порядка
тензорной диады АВ и, следовательно, равно
ЬТТ(А : В) + const (у! :U){B : V),
где LTT, const - скаляры. Отсюда тензор четвертого ранга LTT имеет
следующие компоненты:
LZp-yS = LTT {\(UasUp7 + UaJJpi) ~ lUa0UlS} +
+ COnst UapU-fg.
Тензор LTT по условию симметричен и имеет нулевой след по первой и
последней паре индексов. Поэтому const должна обратиться в нуль,
2.1. Линейные законы. Соотношения Онзагера. Принцип Кюри 55 и тензор LTT
в результате принимает вид
= L ^ ~^{UasUf3j + UajUfjs) - ~С^а/зС^7й|'
{а,Р,Ъ6= 1,2,3),
где ЬТТ - скаляр. Можно показать, что число компонент тензора LTT равно
81, из которых лишь 21 компонента отлична от нуля.
Таким образом, учет элементов симметрии изотропной среды позволяет
упростить систему феноменологических уравнений Онзагера к виду
JG = Lcc Xе, jB = lbbxb,
JT = LTTXT, где Lcc,LBB ,LTT - скаляры.
Примечание. Пусть Г - элемент симметрии пространства, связанный с
некоторым ортогональным преобразованием. При действии Г на любую
тензорную величину последняя преобразуется по закону
L'a'P '7'"'... = ± X] ^аа'Тр/З'Т^' ...La/3jS... ±(Г)т(-)1г,
сх/З'уб...
где Lafj1s...,Taai - декартовы компоненты тензора L и тензора
ортогонального преобразования. Свойство пространственной симметрии
выражается в том, что существует ортогональное преобразование Г, для
которого имеет место L' = L или L' = (T)m(-)L. Если некоторые свойства
симметрии пространства, выражаемые Г, отсутствуют, то исходные и
преобразованные тензоры будут отличаться. Простейшими свойствами
симметрии изотропного пространства являются инверсия Г = / = -U, L' = -
U{-)L и операция произвольного вращения Г = R, L' =
(R)m(-)L•
34. Используя свойства симметрии изотропного пространства, упростить
матрицу феноменологических коэффициентов в системе
56
Глава 2
линейных уравнений Онзагера, устанавливающих связи между потоками и
силами скалярной (с), аксиальной векторной (а) и полярной векторной (е)
природы.
Указание. Использовать выражение производства энтропии в системе в
следующей форме: в = JCXC + Ja ¦ Ха + "7е • Xе ^ 0.
35. Рассмотреть предыдущую задачу для случая линейных уравнений Онзагера,
устанавливающих связи между потоками и силами скалярной и тензорной
природы. Считать соответствующие потоки и силы симметричными тензорами,
имеющими отличные от нуля следы.
2.2. Вариационные принципы Онзагера,
Пригожина, Циглера, Дьярмати, Био, Бахаревой
п
36. Показать, что линейные законы X* = Jj минимизи-
i=l
руют функционал Онзагера (в - Ф) при изменении потоков J;, где i =
1,2,... ,п; в - производство энтропии; Ф - потенциал рассеяния.
ТП
37. Пусть выполняется зависимость для потоков Ji = Y1 азЩ>
з=1
где aj - неопределенные коэффициенты, Bj - скаляры из заданного набора тп
величин. Используя вариационный принцип Онзагера ё(в - Ф) = 0, найти
оптимальные значения констант aj.
2.2. Вариационные принципы Онзагера, Пригожина, Циглера, Дьярмати, Био,
Бахарев<
Решение. Используем представление производства энтропии в и потенциала
рассеяния Ф в виде (1.20), (2.5):
n п ( т
в = Е JiXi = ? ^ ? щВ1
i=1 г=1 \j=l
т / п ,\ т
Е ( Е Х'Вг )а3= Е Fja3 ^
1=1 \*=1 / 1=1
п п / m .\ / т \
^ = и Е = 2 Ё ^ ( Е азЩ ) ( Е aiBk)
=
i,k=1 г,/е=1 у j=1 у \1=1 /
-" т / гг \ га
2 Е Е FikBiBk ajai = 5 Е Djiajai ^ 0.
3,1=1 \i,k= i / i,/=i
Подставляя эти результаты в выражение принципа Онзагера 6(0 - Ф) = 6
и варьируя по aj, легко найти условия, из которых следуют значения
неопределенных коэффициентов aj :
Ш
F3 = X D:i'al-
l=i
38. Прерывная термодинамическая система, характеризующаяся набором т
независимых параметров, поддерживается за счет средств внешнего
принуждения в состоянии с фиксированными термодинамическими силами Xi,
Х2, Хз,..., Хк, причем остальные силы X*+i,...,Xm могут свободно
меняться. Показать, что если производство энтропии 0 в системе
минимально, то потоки В при г = к + 1, к + 2, к + 3,..., т исчезают.
Решение. Чтобы существовало состояние системы с минимальным производством
