Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Метод ренорм-группы, разработанный Вильсоном [5], детально описан в
монографиях Вильсона и Когута [6], Ма [7], Паташинского и Покровского
[1,8]. Здесь мы лишь кратко изложим его основы и получим уравнения,
необходимые для поставленного вопроса о роли симметрии в критических
явлениях. Речь будет идти главным образом о том, как получить эффективный
гамильтониан Я'.
Перепишем основное соотношение (35.14) в виде
ехр(-Я' [т?0])=ехр(-Я [т?0])< ехр(-Я1п4[170 + Vi ])> о, (35.19)
где символ <... >0 означает усреднение по ансамблю невзаимодействующих
флуктуаций, а именно:
(. .. >0 = JDrti ехр(-Я [i?,])(.. .)//?>i?j ехр(-Я" [i?,]). (35.20)
Мы предполагаем, что изменение масштабов (35.16) в соотношении (35.21)
выполнено, поэтому
Интегрирование в последнем выражении ведется в интервале 0 <<7' <q0, а в
Я0 [17! ] - в интервале q0/b <q <q0. Масштабным множителем распорядимся
таким образом, чтобы член с q'2 в ренормированном выражении (35.22) имел
такой же вид, как в исходном (35.21), т.е.
После такой калибровки полный гамильтониан Я' будет зависеть лишь от
параметра Ь.
Вычисление среднего от экспоненты в выражении (35.19) можно провести по
теорий возмущений. Если разложить экспоненту в ряд, то дело сводится к
вычислению срецних <... >0 от величин . Нетрудно показать, что
Имеются Я другие методические подходы в теории фазовых переходов, в
которых, однако, проблема также сводится к отысканию устойчивых
неподвижных точек некоторой системы дифференциальных уравнений,
описывающих эффективное взаимодействие длинноволновых флуктуаций [1].
Здесь
(35.21)
Я0 Ы =~ b d z1 f dq'[r + (q'/Ь)2] 2 nOK{q')Vo\ (-?')• (35.22)
z . \
z= b1 +d>2.
(35.23)
219
существует теорема, сводящая среднее от произведения к парным средним
(теорема Вика) :
<4i\fa)4iM(-?)>o =6\д/(г + "2)- (35.24)
Каждому члену ряда можно дать графическое изображение по следующему
правилу: величина изображается точкой (вершиной), к которой
сходятся четыре линии; свободным линиям сопоставляются величины Vo\(я)> а
линиям, соединяющим вершины, - величины (35.24), причем по
соответствующим такой линии импульсам ведется интегрирование.
Таким образом, ряд для < exp (- Hint) >" представляется графиками с
разным числом свободных концов - с двумя, четырьмя, шестью и т.д., часть
из которых связаны, а часть - несвязаны. Как обычно, имеет место теорема
о связности, согласно которой получающийся ряд сводится в экспоненту
где 5 [т)о] содержит только связные диаграммы из исходного ряда. Из
соотношения (35.19) теперь следует выражение для эффективного
гамильтониана
В наинизшем порядке S [т?0] можно представить в графическом виде:
Первый из них/очевидно, ренормирует выражение для свободной энергии
флуктуаций, второй график описывает исходное (затравочное) взаимодействие
флуктуаций, третий график дает поправку к этому взаимодействию за счет
коротковолновых флуктуаций, следующие графики (с шестью концами)
описывают тройное взаимодействие длинноволновых флуктуаций,
индуцированное коротковолновыми флуктуациями, и т.д.Если ограничиться
членами четвертого порядка, то ясно, что ренормированный гамильтониан
имеет ту же форму, что и затравочный. Поскольку гамильтониан Я' описывает
длинноволновые флуктуации, можно во всех членах, отвечающих
взаимодействию, положить импульсы равными нулю, подле чего гамильтониан
Я' будет содержать константы взаимодействия u?pilv, не зависящие от
импульсов, как и для затравочного гамильтониана (35.11).
Выражение (35.27) для диаграммного ряда написано весьма схематически. В
нем следовало бы учесть топологическую структуру графиков в связи с тем,
что каждая свободная линия должна характеризоваться определенным индексом
X, а также учесть число топологически эквивалентных.диаг-рамм. С этими
уточнениями выражения (35.26) и (35.27) дают перенормированные параметры
г' и и' эффективного гамильтониана Я' в графическом виде:
<exp(-tfint [т?0 + т?!])>0 = ехр(-5 [%]),
(35.25)
Н' [По] = но [По] +5 [По].
(35.26)
+
(35.27)
(35.28)
А. I
А. /л A v
(35.29)
Р * р м-
220
В уравнении (35.28) величина г для общности снабжена индексом X на
случай, если необходимо рассмотреть фазовый переход, идущий по нескольким
НП. В аналитической форме эти уравнения имеют вид
г \ =Ь2 { г х+4 I, иХХооА (г о) } , (35.30)
а
и \pfiv - Ь { u\pfiV - 42 (и\раа uaspV +
М\ра6 ри + U<j6др)-В (га, Tg)} • (35.31)
Здесь е = 4 - d - отклонение размерности от 4, А и В - обозначения Для
графических элементов с нулевыми импульсами на свободных концах:
гб .
} + q2r1dq, (35.32)
гв
~B<r6'ri> = Srt+42)ir6 + 4z>] >d4- (35.33)
r6
Интегрирование ведется по области q0/b <q <q0. Интегралы этого типа по d-
мерному импульсному пространству вычисляются с помощью соотношения
fdqf(q2) = KdJqd lf(q2)dq, где
Kd = [2d~ 1 ndl2 Г (d/2)]-1 (35.34)
поверхность d-мерной сферы единичного радиуса.
Вблизи Тс, где г-+0, аргументы в (35.33) можно устремить к нулю, после
чего
В-{га,гь-)~Ка]' <7-е-^4=^?0-е(Ье-1)/е- (35.35)
