Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
и + 8 т + 8
3 1 1 0 32-2(и+ш)-тл ( т~п
и + 8 п + 8 (л+8) (т+8) • \п + т + 16 /
1 1 1 8 и+нг -4
4 (0,'Л)
и+ш+8 п+т+8 п+т+8 и+т+8 п+ш+ 8
5 "* X К, К2 *3 (х, у)
Первое из уравнений (38.3) в этом случае сводится к следующему:
т[ =Ь2{П+ 4(п + 2)и, А (г,)}. (38.7)
Таким образом, после устранения несущественных в рассматриваемой системе
взаимодействий полные уравнения ренорм-группы для двух взаимодействующих
параметров порядка свелись к известным уравнениям (35.43) и (35.44) "-
компонентной изотропной модели. Критическое поведение системы
определяется только сильными флуктуациями одной из компонент, так что
критические индексы зависят только от числа компонент п сильно
флуктуирующего параметра.
В самой точке пересечения гх = г2 оба параметра сильно флуктуируют,
поэтому в уравнениях (38.3) и (38.4) следует выбрать z, = z2 = bl+d'2,
после чего в правой части каждого из уравнений появится стандартный
мдожитель Ье. В первом порядке по еуравнения (38.4) имеют шесть
неподвижных точек (табл. 9.3).
Как видно из таблицы, первые три точки неустойчивые. Устойчивость точек 3
и 4 определяется соответственно неравенствами
2(п + т) + пт > 32; п+т< 4. (38.8)
Для точки 5 все три значения и * отличны от нуля [27]. Ввиду
громоздкости выражений для и* и А,- они не приводятся. Области
устойчивости
точек 3, 4 и 5 на плоскости (п, т) показаны на рис. 9.2. Точка 3,для
которой параметр взаимодействия двух подсистем равен нулю, отвечает
критическому доведению несвязанных подсистем. Точка 4 является
изотропной, потому что предельный гамильтониан в ней
Н*= Jddx {ф2 ф2] + (V9)2 + (VI)2 + "* (и2 + |2)2} (38.9)
отвечает изотропной модели с числом'компонент п + т. Таким образом, мы
встретились еще с одним примером асимптотической симметрии [1].
234
Р и с.9.2.Области устойчивости неподвижных точек 3, 4 и 5 гамильтониана
(38.2) (27): а - линия п +т = 4, b - линия 2 (л +т) +пт = 32.
Уравнения (38.3) для этой неподвижной точки вырождаются в одно уравнение
(35.43) изотропной модели с числом компонент п + т .
Индексы корреляционной длины могут быть подсчитаны по формулам (35.52) и
(35.53) с заменой п на п + т. Согласно (38.8) изотропная
точка устойчива лишь при и + т <4; в случае п + т = 4 одно из значений
X,- для нее равно нулю, и для решения вопроса об устойчивости необходим
анализ во втором порядке по е2. В [26] утверждается, что изотропная точка
неустойчива в случае и + т = 4.
Теперь следует определить области в пространстве параметров
гамильтониана, которые отвечают каждой устойчивой неподвижной точке.
Область положительной определенности четверной формы гамильтониана (38.1)
определяется неравенствами [26]
м, > 0, иг> 0, из > ~(иии2)ш. (38.10)
Фазовые диаграммы для гамильтониана (38.1) в приближении среднего поля
(когда флуктуации не учитываются) были исследованы в § 20, где
установлено, что в случае
u\<uYu2 (38.li)
в системе с двумя связанными параметрами порядка реализуется тетра-
критическая точка и, следовательно, возможно существование смешанной фазы
с1??=0и??=0. В противоположном случае
и\>и1и7 (38.12)
фазовая диаграмма имеет бикритическую точку и смешанной фазы не
возникает.
Выясним, какому из соотношений (38.11) или (38.12) удовлетворяют
параметры гамильтониана в неподвижных точках. Удобно ввести переменные
* = (mi-m2)/(mi +u2), у = и3/(и1 +и2), (38.13)
в которых условия (38.10) запишутся в виде
х>-\, х<\, у>-{\-Хг)хп!2. (38.14)
На плоскости (х,у) эти неравенства вырезают область устойчивости
гамильтониана (38.2) (рис. 9.3). Внутри эллипса выполняется условие
(38.11) тетракритичности, а вне его - условие (38.12) бикритичности.
Таким рбразом, в приближении среднего поля в точке пересечения линий
фазовых переходов (г2 =г2) в системе должен наблюдаться фазовый переход
первого рода всюду вне эллипса и переход второго рода внутри эллипса.
Посмотрим, как меняются эти области при учете флуктуаций. Для этого
необходимо нарисовать фазовые портреты, следующие из рекур-
235
Рис. 9.3.Фазовая плоскость для системы двух взаимодействующих параметров
порядка при я = m = 1; 1-5 - неподвижные точки преобразований ренорм-
группы.
рентных соотношений (38.4). На плоскости^, у) для конкретного случая п =
т = 1 дано схематическое изображение траекторий преобразований ренорм-
группы.
Устойчивой неподвижной точкой является в данном случае изотропная точка
4. Область ее достижимости заключена между сепаратрисами 1-5, 5-2, с
одной стороны, и 1-3, 3-2 - с другой. Если затравочные констан-
ты гамильтониана (38.1) лежат вне этой области, фазовые траектории уходят
за границы устойчивости гамильтониана. В этом случае фазовый переход из
неупорядоченной фазы в конденсированную (т? Ф 0 или if Ф 0) будет первого
рода.
Если затравочные константы лежат внутри отмеченной области, ситуация
становится сложной: характер фазового перехода зависит еще от того, в
какой части этой области находится точка для затравочного гамильтониана.
