- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 15. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Построение квантовой теории поля в искривленном пространстве включает в себя задачи определения вакуумного состояния, корпускулярной интерпретации поля и вычисления физических наблюдаемых, таких ікак тензор энергии-импульса и плотность числа частиц, рождаемых гравитационным полем. Специфика квантования полей на фоне искривленного пространства заключается в том, что уравнения поля, обобщенные ковариантным образом, имеют переменные коэффициенты при старших производных, которые суть компоненты псевдо-римановой метрики, а в пространстве Римана—Картана появляется новый тип взаимодействия — «спин—связность». При этом теория возмущений применима лишь в асимптотически плоских пространствах. Вычисление физических наблюдаемых связано с расчетом средних по вакууму от билинейных комбинаций полевых операторов, которые всегда будут содержать расходимости. Для придания смысла таким величинам обычно используют процедуру регуляризации (или вычитания). В !искривленном пространстве последняя приводит к появлению в эффективном действии дополнительных слагаемых, что оправдывается с помощью процедуры перенормировки констант взаимодействия в общем лагранжиане. поля, включающем в себя гравитационные части. Строгое описание методов регуляризации и конструкции контрчленов можно найти в работах [60, 228, 239, 245].
' В нашу задачу не входит анализ имеющихся способов регуляризации и построения вакуумного состояния в искривленном пространстве. Поэтому в этом параграфе мы лишь кратко напомним основные положения квантовой теории поля в искривленном пространстве [60, 245]. В ,искривленном пространстве .-лагранжиан свободных материальных полей выбирается в соответствии с принципом минимальности взаимодействия в виде L(<р, V„<p, R, g).- . Напомним, что для скалярных полей дополнительно вводится член Q)?2. который необходим для конформной инвариантности лагранжиана безмассового скалярного поля в отсутствие кручения. Из лагранжиана L варьированием по ф получаются уравнения поля
Яф = 0, (15.1)
где F— некоторый линейный дифференциальный оператор.
В плоском пространстве-времени уравнения свободного поля инвариантны относительно преобразований из группы Пуанкаре, и решения уравнения (15.1) могут быть представлены в виде суммы положительно частотного и отрицательно частотного решений fj и fj*. При этом такое разбиение на положительно* и отрицательно-частотные части сохраняется во времени. Решение fj пропорционально плосковолновому решению exp{i(kx — со^)}, где со = (&2+т2)1/2, или равно суперпозиции таких решений. Множество {/,-, //} образует полный ор-тонормированный набор классических решений для данного волнового поля:
(Л.//)=6,7. (/;./})=б^, (Ufi)=O.
Здесь (, ) означает соответствующее скалярное произведение.
Таким образом, любое решение уравнения (15.1) в плоском пространстве представимо в виде разложения
і
где при переходе к квантовому полю ф коэффициенты а,-'-) и а<(+) приобретают смысл операторов уничтожения и рождения, не зависящих от времени и пространственных координат и подчиняющихся следующим коммутационным (антикоммутационным для фермионов) соотношениям
[а І ,а/ J ± , а/ Jt = Oiy-.
Вакуумное состояние |0> определяется как основное состояние, удовлетворяющее уравнению аН]0) =0 для всех /.
Выбрав периодические граничные условия в кубе с ребром L, так что kj = 2nrijL-\ где щ — целые числа, перейдем в им-
*( I Y /_'
пульсное представление к операторам Ck , ^k рождения и уничтожения частиц импульса к. В этом представлении оператор
Nv .= a^Vr* (15.2)
92 J это оператор числа частиц с импульсом к в объеме L3, а
й==тЛЫка<г) + ^>а<к+>> ' (15-3) к
оператор Гамильтона ' в представлении вторичного кванто-в'ания.
В отличие от плоского пространства, в искривленном пространстве-времени невозможно инвариантным образом разбить решение уравнения (15.1) на положительно- и отрицательно-частотные части. Даже если это и^сделать в какой-либо момент времени, то в последующие моменты времени эти частоты перемешиваются [245], что интерпретируется как рождение частиц [60].
Говорить о рождении частиц Имеет смысл после того, как строго введено понятие частицы во внешнем поле. Мы будем здесь следовать методу, впервые предложенному в работе [249] и основанному на процедуре диагонализации мгновенного гамильтониана ft{t). Он применим, если пространство допускает времениподобный вектор Киллинга.
Зададим гамильтониан, соответствующий данному полю, описываемому лагранжианом L(ф, Vf, R, g), в форме
Я == J TilvI^dav, (15.4)
а »
где
Tw= V-L- Jtv (K=gL(<p,V<p,ftg) (15.5(
метрический тензор энергии-импульса рассматриваемого пол.., \— поле времениподобного вектора Киллинга, da — элемент гиперповерхности й, перпендикулярной ?. В этом случае Я будет оператором энергии, если-время задается как параметр вдоль траекторий поля
Предполагается, что в некоторый момент времени t = t0 можно ввести не зависящие от пространственных координат и времени операторы рождения * и уничтожения а(к-) и а(к'1 и стационарный вакуум 10>, а^ 10) = 0. В терминах эгих операторов гамильтониан (15.4) будет диагонален, т. е. будет иметь вид (15.3), среднее до вакууму от него является энергией системы в данный момент времени, а оператор числа частиц будет ;аким же, как (15.2).
