- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Пространства Римана — Картана, рассмотренные в предыдущем параграфе, принадлежат к специальному виду аффинно-
метрических пространств, в которых выполняется условие мет-г
ричности (6.1) Vxgliv = O.. Это условие можно разрешить заранее, до вывода уравнений поля, и, подставив выражение для
72- связности (11.2) в (12.1) и (12.2). описывать гравитационное
поле двумя тензорными полями — метрикой и кручением. Тогда независимыми полевыми переменными, по которым сле-д,-ет варьировать полный лагранжиан, будут метрика, кручение и материальные поля. . " -
Другой подход предполагает введение условия метоичности R лагранжиан с неопрелеленными множителями Лагранжа Г168, 193]. Рассмотрим оба этих случая, так как в первом из них окончательные уравнения поля получаются сразу, однако для вывода законов сохранения требуется дополнительно использовать' тождества Бианки [194]; второй важен, поскольку является общим для аффинно-метрических теорий гравитации, приобретших в последние годы большое значение в связи с программой объединения теории относительности с квантовой теорией.
. Функционал действия, описывающий взаимодействие метрического, торсионного (поля кручения) и материальных полей с учетом (П.2), после отбрасывания полной дивергенции будет
S - fd4* 1/?/? (g) - \AQrtQrf- + 2QawQ^a -?
- QaPvQotpI - 2xlm(ф, U- я)}- (12.3)
Проварьировав этот функционал по независимым динамическим переменным, получим следующие уравнения поля:
• б/Г: Ч-ig^R + 4?tV??V+ 2BtwBto-B^Bfa-
-'^(АВ^В^ + В^В^) =Xrfiv, (12.4)
oQr: В\ч+В\л+В\*= + + (12.5)
л . г SL 0ф : (V?_ _ 2Q,) - = 0, (12.6)
0ф - ^V, Ф
где Tliv = —— (У—g Lm)— тензор энергии-импульса материи, • Sjjv — 6LmloQ'i — канонический тензор спина,
-S\v=QV+ o/Qv—SvxQll. Уравнение (12.5) можно преобразовать к виду
QV+SllvQv-Svj-Qtl=XSxliv. ' (12.7)
Из уравнений (12.4) — (12.6) їй тождеств Бианки (11.8), (11.9) получаются следующие законы сохранения тензора энергии-импульса и тензора спина:
(W - 2Qu) & - QWx + (Г) = 0, (12.8)
(Vx-2Q0 SV-2/[Mv] = 0^_ / (12.9)
.73 где /ст = 6oAm —а) Уаф—канонический ТЄНЗОр ЭНерГИИ-импульса.
Рассмотрим второй способ варьирования — варьирование по Палатини [168]. Запишем действие в виде
S = $d*xV=~g{R(g, Г) + Aaccp(устГр)-2х/.т(Ф, уФ, g)}. (12.10)
Уравнения поля, получаемые варьированием действия (12.10) по метрике, связности, материальным полям и неопределенным множителям, будут
: Rw (Г) - 1/2^lv Я (Г) - [ Va - f Г\>, - {^jJ ) ] Aafxv =
(12.11)
ба: /lattv + ЫВ» + AaUv + А™ + OL/OT\V = 0,
AaM = g^TPap - rvaPgw - rv - (V—gg^U, (12.12)
V— g
V — s
6ф : dL/d(f — ^vv — frV- {- 0; (12.13)
oAV: Ve^v = 0. (12.14)
Уравнение (12.12) с-учетом (12.13) распадаются на два. Одно из них это (12.7), а второе
(12.15)
бГа (fiv)
Кроме того, из (12.13) непосредственно следует выражение для связности (11.2). После подстановки (12.15) в (12.11) придем к уравнениям поля (12.4) — (12.6).
Уравнение (12.7) реализует основную идею Картана о спине как источнике поля кручения. В выбранном нами лагранжиане гравитационного поля отсутствуют кинетические члены поля кручения. Вследствие этого уравнение (12.7), которое мы будем называть уравнением Палатини, осуществляет алгебраическую связь между спином материального поля и кручением пространства-времени.
После того как построены общие динамические уравнения теории, рассмотрим основные типы классических полей — скалярное, электромагнитное, спинорное — в теории гравитации с кручением Эйнштейна — Картана.
Скалярное поле.
Поле нулевого спина — скалярное поле — со связностью, а тем самым и с кручением пространства-времени не взаимо-
74 , • действует. Однако включение в его лагранжиан неминимального взаимодействия Q—ф приводит к интересным результатам.
Рассмотрим «скалярно-метрико-торсиойную» теорию, описываемую функционалом действия
16)
S0 = j^J/CT^ Q) Ф2-?/(Ф)] , (12.
где U (ф) ^O для любых значений ф. Например, выбираем
г/(ф) = ^ ф2 + тг>4
(в отсутствие кручения, если т = 0 и 1=1/6, функционал S0 будет конформно инвариантным).
Динамическими переменными в такой теории являются ф, guv, QV- Выпишем только уравнение Палатини
Q\v + oJlQv - OvQu = ф-1 [вЖф - •.
Откуда немедленно следует
QvXn= (2ф)~! [ёЧ>Аф—. (12.17)
После подстановки (12.17) в (12.16) и некоторых преобразований получаем
5 = J" d*x(-g) Ь'2! (1/2—27|/4)(5цфднф—1/<? (g) <f*-U (Ф)}.
" (12.18)
Переобозначим ф—^ {1 —27^/2) ~1/2ф. Тогда (12.18) примет вид 5 = Jd^x i-g) wVhdwfry-hR (g) V2-U (ф)},
L —-——, u(q>) = JJ- ф2 L Jl. фі
ы 2 — 27? v 2 4!
2m2 X^ 4Х-. (12.19)
где
2 — 27g (2 — 27g)2
Особый интерес представляет случай |>2/27, когда в ренор-мированной за счет Q—ф-взаимодействия теории при g"MV = Tiiiv возникает условие для спонтанного нарушения симметрии, так как в этом случае т2<.4, а /.>0, и u (ф) будет обладать двумя ненулевыми устойчивыми минимумами.
Электромагнитное поле.
На взаимодействие гравитационного и электромагнитного
