Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Смысл следования наблюдателя за полем легче всего выяснить из рассмотрения вектора Пойнтинга. Прежде чем вводить частную лоренцовскую систему координат, можно ковариантным образом определить 4-вектор Пойнтинга
^0 = (00-?^)^^, (3.2)
где V*1 — 4-скорость наблюдателя, измеряющего поле. Это легко получить из обычного определения, когда V^ направлена вдоль оси времени в локальной лоренцовской системе. Так как
PqVQ = 0, (3.3)
то Pq должен быть пространственно-подобным. Если ввести в рассмотрение 4-нормаль nQ к некоторой бесконечно малой двумерной поверхности 2, движущейся вместе с наблюдателем со скоростью ро, то поток электромагнитной энергии через 2 запишется в виде
PqhQ = TiivVW. (3.4)
Говорят, что такой и только такой наблюдатель следует за электромагнитным полем, для которого поток энергии через все возможные 2-поверхности (независимо от ориентации), жестко с ним связанные, равен нулю. Согласно (3.3) ы
Ф. Пи рани.
и (3.4), это может иметь место лишь при условии
P0 = O, (3.5) что приводит к соотношению
Tq^ = (TiivVW)Vqj (3.6)
так что P0 должен быть собственным вектором Tixv. Этим устанавливается связь между понятием следования за полем и собственными векторами тензора энергии-импульса электромагнитного поля. Как уже указывалось, в случае изотропного поля не существует временно-подобного собственного вектора, так что вектор Пойнтинга не обращается в нуль ни для какого наблюдателя, движущегося с конечной скоростью. Поток энергии для изотропного поля не может быть уничтожен преобразованиями Лоренца. Изотропное поле имеет один изотропный собственный вектор (назовем его принадлежащий нулевому собственному значению, так что
W = O. (3.7)
Таким образом, «наблюдатель», движущийся со скоростью света в направлении (последний является по существу вектором распространения), не должен наблюдать потока энергии.
В случае гравитационного поля не существует тензора энергии-импульса самого гравитационного поля (псевдотензор обсуждается в § 4). Однако, согласно доводам, приведенным в § 1, можно попытаться связать определение «следования за гравитационным полем» с геометрической структурой тензора Римана, аналогично определению этого понятия для случая электромагнитного поля. Это определение, естественно, будет более сложным, поскольку тензор Римана более сложный объект, чем максвелловский тензор энергии. Определение дается в два этапа. Прежде всего определяются собственные бивекторы (кососимметрические тензоры) тензора Римана. С помощью канонических типов Петрова [4] эти собственные бивекторы можно записать точно для всех трех алгебраически различных типов тензора Римана в свободном пространстве-времени. Собственные бивекторы геометрически соответствуют двумерным поверхностям или парам двумерных 9. Инвариантная, формулировка теории гравитац. излучения 271
поверхностей в пространстве-времени. Пересечения этих двумерных поверхностей друг с другом определяют некоторое число 4-векторов (которые предполагаются нормированными, если они не изотропны), которые мы будем называть главными векторами Римана.
Будем говорить, что наблюдатель, 4-скорость которого совпадает с временно-подобным главным тензором Римана, следует за гравитационным полем.
Оказывается, что для двух из трех типов тензора Римана этот временно-подобный главный вектор вырождается в изотропный конус. Гравитационные поля, соответствующие этим двум типам, отождествляются с гравитационным излучением.
Собственные векторы Pliv тензора Римана определяются соотношением
или
R JAVQd^0 — XPjliv, RabPb = 1KPA
(3.8)
Rab =
в шестимерном формализме, введенном в § 2.
Петров [4] показал, что соответствующим выбором системы координат в каждой точке пространства-времени тензор Римана можно привести к каноническому виду одного из трех следующих типов1): Тип I:
Лч . . ?i . Л
. а2 . . ?2
. . (X3 . ?3
?i . . -O1
. ?2 . .-?
. ?a .
3
k=\
І ?ft=o.
k=i
— «з/
(3.9)
1J Алгебраические свойства пустого пространства-времени под-робно исследовались Белем [18] (см. также примечание 2 на стр. 286). 272
Ф. Пи рани.
Тип II:
rab =
/ - 2а . . - 2? . .N
а —а ? а
а + а а ?
- 2? . + 2а
? er — (а — а)
-(а + а)/
(3.10)
V . а ?
Тип III:
Rab =
( . -а — а
V а
<Л
а . а а
. (3.11)
Для типа I система координат, в которой задан канонический вид Rab у полностью определена. К появлению некоторой свободы выбора может привести случайное совпадение между а и ?. В типах II и III система координат определена только с точностью до лоренцовских вращений в плоскости x1x0. Величины а и ? являются скалярными инвариантами тензора Римана. Однако величина о зависит от выбора осей в плоскости x1x0.
Указанные формы Rab определяются, во-первых, ограничениями, накладываемыми на преобразования в шестимерном пространстве (т. е. лоренцовскими преобразованиями, включающими вращения), и, во-вторых, отсутствием симметрии Ra (другими словами, индефинитным характером метрики У\АВ)- В результате этого элементарные
