Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
относительного движения нормальной и сверхтекучей компонент жидкости.
Существование этой новой степени свободы и лежит в основе всех явлений
переноса в Не II, известных под общим названием сверхтекучести.
§ 6. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВБЛИЗИ АБСОЛЮТНОГО НУЛЯ Постановка задачи
Чтобы рассеять все иллюзии, надо подчеркнуть с самого начала, что не
существует общей кинетической теории, которая могла бы сравниться по
степени развития с общей статистической механикой. Данное рассмотрение
является эвристическим; в его основу положена схема обычной классической
кинетической теории газов. Все рассуждения основаны на предположении, что
существует некоторая длина d, удовлетворяющая следующим условиям.
а. Значение d является малым в макроскопическом смысле, но большим по
сравнению с тепловой длиной волны и средним расстоянием между атомами,
так что свойства жидкости в объеме d3 приближаются к свойствам бесконечно
протяженной системы. Это значит, что объем d3 должен содержать
достаточное число атомов для того, чтобы к нему можно было применить
статистическое рассмотрение, но в то же время этот объем должен быть
настолько мал, чтобы его можно было рассматривать как "точку" в
макроскопическом смысле. Ясно, что это условие не может выполняться при
произвольно малой температуре.
б. Свойства жидкости таковы, что все термодинамические функции
практически не изменяются на расстояниях порядка d. Тогда можно считать,
что в каждом объеме d3 система находится в состоянии равновесия при
данных температуре, давлении, плотности и полном среднем импульсе.
§ 6. Кинетическая теория вблизи абсолютного нуля
439
Пусть е, s, р обозначают соответственно плотность внутренней энергии,
плотность энтропии и плотность импульса жидкости. Постулируем
определенные выражения для следующих потоков, которые сохраняются в том
приближении, когда пренебрежимо малы все диссипативные явления:
Jp (поток массы),
J" (поток энергии),
, . . (18.55)
J5 (поток энтропии),
Tjj (поток импульса),
причем Ttj есть /-я компонента "потока j-й компоненты импульса11.
Изменения локальных термодинамических функций в пространстве и времени
описываются законами сохранения:
+ V • Jp = 0 (сохранение массы), (18.56)
V • Je = 0 (сохранение энергии), (18.57)
¦ Js - Q (сохранение энтропии), (18.58)
др, V! дТ,j
2и ~дх = ^ (сохРанение импульса). (18.59)
При подстановке явных выражений для потоков эти уравнения становятся
уравнениями гидродинамики в низшем приближении.
Квазиравновесная термодинамика
В соответствии с только что изложенной схемой надо вначале исследовать
равновесные свойства бесконечно протяженной жидкости с однородной
температурой Т, удельным объемом v и полным импульсом Р. Под термином
"равновесие11, однако, мы понимаем здесь и абсолютное равновесие и
квазиравновесие в смысле, указанном в конце § 5. В связи с этим мы вводим
новый независимый термодинамический параметр-вектор к5, входящий в
формулу (18.44).
Квазиравновесная термодинамика может быть получена из статистической
суммы:
Q (Р. К) = ехр (- (5Е0 - Щ М 2' ехр Г-!р 2 ("<. + "г) "ч1 -и L ч i
(18.60)
где сумма 2Г берется при условии
2qrtq = P- Nks, (18.61)
440
Гл. 18. Жидкий гелий
причем подразумевается также зависимость статистической суммы от Т и V.
Можно вновь представить статистическую сумму в форме, аналогичной
(18.50), а именно:
Q(P, k5) = ~ (i)3 е~№°-ЩX
X f dwj J dw2 J k5), (18.62)
где
^(w, k5)=^]exp| - p ^ [o>q -h ( ^- - w) • q]"q|, (18.63)
(") I 4 J
или
•lln^(w, kJ^J-^lnCl-^^q-4)), (18.64)
причем u = w - (kJm). Подставляя это в (18.62) и используя интегрирование
методом перевала, находим, что при /V-*co, К->со и фиксированном р = mNjV
llnQ(P, к,)=-?^-р|Г- J -^ln[l-<Гр(мч-"-'0], (18.65)
где
^=|(^)2+(4--e^L)(18-66)
и где и определяется условием в седловой точке
Р _ pk s_f_d^______Ч N8 074
V m -J (2я)> gP(aq-u.q)_1 ' (18-67)
Если положить ks=P//V, тогда u = 0 и (18.65) сводится к (18.54\ т. е. к
случаю абсолютного равновесия. Средние числа заполнения для элементарных
возбуждений оказываются равными
W = ;B(Mq-!,.q)- • (1S-68)
Выражения для термодинамических функций следуют непосредственно из
(18.65). Давление равно
Р - Р0 + 67" J ^1п[1 + ("ч>]. (1S-69)
где Р0 - давление в жидкости при абсолютном нуле Свободная
энергия Гельмгольца на единицу объема есть
вг=е04-^-(Я-Я0), (18.70)
§ 6. Кинетическая теория вблизи абсолютного нуля
441
if = /[*7
где e,0 - E0/V - энергия основного состояния на единицу объема. Потенциал
Гиббса на единицу объема равен
? = Р0. (18.71)
Внутренняя энергия на единицу объема выражается формулой
e = e0 + ef+ / (18.72)
Наконец, энтропия на единицу объема (деленная на постоянную
Больцмана) равна
'"[1+<",)] 1 ' ("я) J
Физический смысл вектора и определяется выражением
Г dsq (п \ V а> ц= J . (18.74)
Получим это выражение. Согласно (18.68),
V,(n,) = - р<л,)(1 + ("q))(Vqwq - и).
Умножая обе части уравнения на (ячУ С/= 0, 1, 2, ...), находим
?я <"чУ+' = - Р U + 0 ("яУ+1 (1 + <"4"(Vq<o4 - и).
