Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
волновая функция основного состояния покоящейся жидкости, тогда е~1сЧг0
есть та же самая волновая функция в системе координат, равномерно
движущейся относительно первой. Имеем
р е-Ш\р0_е-(О(е<Ороп(: е-1'О)ф/0==
°"ер °" Р = * -,0 (Ропер + Мс,) % = NUse - '°Ч0
Следовательно, Nks есть импульс сверхтекучей компоненты. Рассмотрим
теперь волновую функцию e~l0Vq, где определяется формулой (18.27).
Получаем
e_iG4rq = e~iG 2 el'4'W0= 2 ei4'r7(e-i0%).
Кроме того,
Ропер*= (q + Nks)
Таким образом, вектор q в (18.43) и (18.44) является волновым вектором
возбуждения по отношению к движущейся сверхтекучей компоненте. Импульс
элементарного возбуждения в системе координат, движущейся вместе со
сверхтекучей компонентой, равен q; в лабораторной системе координат он
равен q-f-Mk^.
- Н- I [G, Н\ - ^ [О, [G, Н\] - ± [G, [G, [G, Н\ ] ] + ... На третьем
члене ряд обрывается.
Гл. 18. Жидкий гелий
При вычислениях в § 4 мы не учитывали состояний с Ф 0. Совершили ли мы
при этом ошибку? На этот вопрос следует ответить отрицательно, так как
при абсолютном равновесии (к^ = 0, если жидкость покоится. Чтобы доказать
это, докажем более общий результат: в условиях абсолютного равновесия
= (18.45)
где Р - полный импульс жидкости, являющийся заданным параметром.
Вычислим статистическую сумму жидкости с уровнями энергии (18.43) при
условии, что
Р = 2q"q + Nk*, (18.46)
где Р - заданный вектор. Статистическая сумма будет функцией Р,
а также N, v и Т, но мы не будем явно выписывать
последние
переменные. Таким образом,
Q(P) = ^'expj-p^+^^ + ^J^JJ, (18.47)
где сумма 2" распространяется на все наборы {/iq} и все значения kJt
удовлетворяющие условию (18.46). Определим следующую производящую
функцию:
<3?(w) = 2 eP* pQ(P), (18.48)
причем сумма по Р распространяется на все векторы вида
Р = ^~, (18.49)
где L = V'!\ а п есть вектор с компонентами 0, +1, ±2, ... Если (. = еЖ"1
(_/=!, 2, 3), тогда
"<р> = сЫ I"* ¦
где itj=(L/2n)Pj, а контуры интегрирования представляют собой окружности
с центром в точке ?у = 0. Можно также написать 2я 2я 2л
Q(P) - -у (-у)3 J dw1 J dw2 j dwAe-Pp-W^(w). (18.50)
$ 5. Движение сверхтекучей компоненты
437
Непосредственно можно убедиться, что
,??(w) = ^e-|3?o+YsMwJ d*Ke-"№W**)+*Wl, (18.51)
где
е 00:= да / ^ 1п 1([ ~<"-<+Кч>). (18.52)
При N->oo интеграл & (w) можно вычислить методом перевала1); в результате
находим
^.ln^(w) = -S^ + tP*(r)2--рй)г/(18.53)
Обозначим символом Q0 статистическую сумму жидкости с уровнями энергии
(18.37). Подставляя (18.53) в (18.50), получаем при N-> оо
^lnQ(P) = ^lnQ0-^(^)2. (18.54)
Таким образом, (",) по-прежнему дается формулой (18,3). Вычисляя среднее
по ансамблю от (18,46) и замечая, что 2ч(геч) = 0. находим Р = (V (ку),
т. е. соотношение (18.45). Этот результат показывает, что при абсолютном
равновесии в системе координат, движущейся вместе со сверхтекучей
компонентой, полный импульс газа возбуждений равен нулю. Другими словами,
не существует относительного движения центра масс нормальной компоненты
жидкости относительно сверхтекучей компоненты.
Предположим, что в начальный момент времени возникла ситуация, в которой
нарушено условие (18.45). Тогда система не находится в равновесии и
спустя некоторый промежуток времени приходит в состояние, в котором уже
выполняется соотношение (18.45). Статистическая механика не может,
однако, установить, через какой промежуток времени установится состояние
равновесия. Без общей кинетической теории можно только догадываться об
ответе. Мы считаем, что установление состояния, для которого выполняется
соотношение (18.45), должно потребовать макроскопически большого
промежутка времени, Действительно, пока справедливо соотношение (18.43)
для уровней энергии, абсолютное равновесие вообще не может установиться.
Причина этого лежит в следующем. Чтобы установилось состояние,
описываемое соотношением (18.45), должна происходить передача импульса от
газа элементарных возбуждений каким-то другим объектам. Однако, согласно
(18.43), возбуждения устойчивы и механизма передачи импульса не
существует. При более строгом исследовании
¦) См. гл. 10, § 1.
438
Г л. 18. Жидкий гелий
необходимо учесть взаимодействие элементарных возбуждений друг с другом и
конечность времени жизни возбуждения. Только таким образом можно вообще
обсуждать процесс приближения к абсолютному равновесию.
Мы принимаем, что в хорошем приближении время жизни элементарного
возбуждения можно считать бесконечным. Кинетическая теория, полученная в
этом предположении, аналогична нулевому приближению в классической
кинетической теории газов и ведет к гидродинамике невязкой жидкости.
Кроме того, делается предположение, что Р и ks являются независимыми
переменными. Такой подход не соответствует состоянию абсолютного
равновесия; по существу рассматриваются квазиравновесние ситуации.
Сделанное предположение эквивалентно допущению, что жидкость обладает
дополнительной новой степенью свободы, связанной с возможностью
