Статистическая механика - Хуанг К.
Скачать (прямая ссылка):
(18.34)
к^О
Вклад в энтропию жидкости дают только элементарные возбуждения. Таким
образом, можно интерпретировать разреженный газ элементарных возбуждений
как нормальную компоненту жидкости, а остальную часть жидкости, т. е.
среду, в которой возникают возбуждения, рассматривать как сверхтекучую
компоненту. При абсолютном нуле 2 W) - 0- так что жидкость содержит
только сверхтекучую компоненту. При увеличении температуры величина 2
{пк) растет, следовательно, увеличивается количество нормальной
компоненты жидкости.
Чтобы дать более конкретное описание двух жидкостей, рассмотрим волновую
функцию жидкости. Пусть /(г) есть волновая функция, соответствующая
волновому пакету, и пусть
'F/=2/(r>)4V (18'35>
¦) В работе [53] предлагаются эксперименты по непосредственному измерению
спина ротона.
§ 5. Движение сверхтекучей компоненты
433
Тогда Ч'f есть волновая функция жидкости, в которой присутствует волновой
пакет фононов. Предположим, что g(г) есть другой волновой пакет, не
перекрывающийся с /(г). Тогда функция
4/*= 2} Jl/О1")* (г,) % (18.36)
описывает состояние с двумя волновыми пакетами в жидкости. Аналогичным
образом можно определить и т. д. При очень низких
температурах волновая функция жидкости может быть представлена как
некогерентная 1) суперпозиция таких волновых функций, описывающих
состояния с 0, 1,2, ... волновыми пакетами фононов. Коэффициенты этой
суперпозиции зависят от температуры так, что средние числа заполнения
фононов равны {пк). Волновую функцию основного состояния Ч'0, входящую в
формулы (18.35), (18.36) и другие аналогичные выражения, можно
рассматривать как волновую функцию сверхтекучей компоненты. Эта
интерпретация справедлива только в области очень низких температур, где
выполняется условие (18.34), и не может быть распространена на другие
температуры. Тот факт, что в (18.35) и (18.36) входит одна и та же
функция Ч^, является аппроксимацией, которая не может быть
удовлетворительной, когда возбуждено много фононов.
Если нас интересуют только свойства жидкости при абсолютном равновесии,
то более четкого определения двухжидкостной модели дать нельзя. Например,
неизвестно, как определить р" и р^, поскольку неясно, что понимать под
"массой" элементарного возбуждения. В действительности основная задача
двухжидкостной модели состоит в описании неравновесных процессов, в
частности второго звука. Чтобы обосновать двухжидкостную модель, надо
рассмотреть кинетическую теорию Не П.
§ 5. ДВИЖЕНИЕ СВЕРХТЕКУЧЕЙ КОМПОНЕНТЫ
При обсуждении кинетической теории2) Не II важно быть уверенным в том,
что в предшествующих рассуждениях мы не упустили из вида ни одной
возможной формы движения жидкости. Мы подозреваем, что это не так.
Волновая функция 4fk состояния с одним элементарным возбуждением,
описываемая выражением (18.27), соответствует энергии ?о + Лмк и импульсу
к. Состояние жидкости, характеризуемое числами заполнения (лк),
удовлетворяющими условию должно
') Потому что мы должны представить жидкость ансамблем. См. гл. 9, § 1.
2) Обсуждение кинетической теории Не II проводится по той же схеме,
которая была развита Ли и Янгом [54] для бозе-газа из твердых сфер.
28 К. Хуанг
434
Гл. 18. Жидкий гелий
иметь полную энергию Еп и полный импульс Р", выражаемые фор-
Однако полный импульс в таком состоянии связан исключительно с
элементарными возбуждениями, т. е. с нормальной компонентой жидкости.
Интуитивно кажется очевидным, что должны существовать состояния, в
которых вклад в полный импульс дает не только нормальная, но и
сверхтекучая компонента жидкости. Покажем, что это на самом деле так.
Пусть векторы г1; . . ., xN определяют положения N атомов жидкости, а рг,
.... pw являются операторами импульса N атомов жидкости с обычными
правилами перестановки. Рассмотрим преобразование
где kf - произвольный волновой вектор. Это преобразование является
каноническим, так как [г!, Р,] = [гг. Ру]- Действительно,
Пусть Н и Ропер соответственно представляют собой гамильтониан и оператор
полного импульса системы:
мулами ])
Еп = Е0-\- 2 "Л-
(18.37)
(7=1....(V),
(18.38)
(7=1.....N),
(18.39)
где О - эрмитов оператор
О = ks ¦
(18.40)
и=-йг2'5+2"< 1ч-г,|).
р
(18.41)
¦) Здесь и далее мы используем систему единиц, в которой 6=1.
§ 5. Движение сверхтекучей компоненты
435
Тогда')
е-0Н''0 = Н + ±к,- Р00ер+-^. (18 42)
е-'°Р0Переш = Ропер + ^.
Следовательно, если Ч1- является одновременно собственной функцией
операторов Н и Ропер, то e~lOXV также обладает этим свойством. Кроме
того, если (18.37) представляют собственные значения Н и Ропер, то этим
же качеством обладают следующие выражения:
^ / 1 \ Nk\
EniK) = E"+ SK+'S к*ЧК + ~2)Г- (18'43>
Рл(кЛ=2ч"я + Nks- (18.44)
4^=0
Вектор k5 является новым квантовым числом, характеризующим множество
собственных значений, включающее (18.37) как частный случай, для которого
к^ = 0.
Чтобы дать физическую интерпретацию выражений(18.43)и(18.44), заметим,
что преобразование G является преобразованием Галилея. Если 'Гц есть
